Показательные и логарифмические уравнения — задания ЕГЭ по профильной математике

Найдите корень уравнения ${\displaystyle {\left(\frac{1}{7}\right)}^{x+4}=49}$.

Найдите корень уравнения ${\displaystyle 2^{-4-x}=16}$.

Найдите корень уравнения ${\displaystyle {\log }_5\left(8-x\right)={\log }_{5}2}$.

Найдите корень уравнения ${\displaystyle {\log }_7\left(1-x\right)={\log }_{7}5}$.

Найдите корень уравнения ${\displaystyle {\left(\frac{1}{6}\right)}^{x-2}=6^x}$.

Найдите корень уравнения $3^{15-x}\text{}=27.$ 

Найдите корень уравнения ${\displaystyle {\log }_3\left(x+4\right)={\log }_{3}16}$.

Найдите корень уравнения ${\displaystyle {\log }_2\left(x-2\right)={\log }_{2}11}$.

Найдите корень уравнения $5^{2-x}=125.$

Найдите корень уравнения ${\displaystyle {\left(\frac{1}{3}\right)}^{3-x}=81.}$ 

Найдите корень уравнения ${\displaystyle 3^{x–8}=\frac{1}{81}.}$ 

Найдите корень уравнения ${\log }_3\left(x+64\right)=4.$ 

Найдите корень уравнения ${\displaystyle {\left(\frac{1}{4}\right)}^{x-5}=\frac{1}{16}}$.

Найдите корень уравнения $3^{x-10}=\frac{1}{81}.$ 

Найдите корень уравнения $4^{x-7}=\frac{1}{64}.$

Найдите корень уравнения ${\displaystyle {\log }_3\left(15-x\right)={\log }_{3}7}$.

Найдите корень уравнения $2^{11-x}\text{}=32.$ 

Найдите корень уравнения ${\left(\frac{1}{6}\right)}^{x-3}=\frac{1}{36}.$

Найдите корень уравнения $4^{x-4}\text{}=64.$ 

Найдите корень уравнения $9^{-2-x}=81\text{}.$

Найдите корень уравнения $5^{x-2}=125.$

Найдите корень уравнения $3^{x-11}=\frac{1}{27}.$ 

Найдите корень уравнения $3^{x+2}=81\text{}.$

Найдите корень уравнения $7^{11-x}=49.$

Найдите корень уравнения ${\displaystyle 2^{x-3}=\frac{1}{16}}$.

Найдите корень уравнения $6^{x-5}=36.$

Найдите корень уравнения ${\displaystyle 3^{x+6}=9^{2x}}$.

Найдите корень уравнения $3^{x-5}=\frac{1}{27}$.

Найдите корень уравнения $5^{11-x}\text{}=25.$ 

Найдите корень уравнения $4^{x-12}=\frac{1}{64}.$ 

Найдите корень уравнения ${\displaystyle {\left(\frac{1}{5}\right)}^{x-5}=125.}$ 

Найдите корень уравнения $4^{x-3}=64.$

Найдите корень уравнения ${\log }_4\left(x-4\right)=3.$

Найдите корень уравнения ${\displaystyle 8^{9-x}=64}$.

Найдите корень уравнения ${\log }_5\left(20-x\right)=2.$ 

Водолазный колокол, содержащий $\text{υ}=3$ моль воздуха объёмом $V_1=80\text{л}$, медленно опускают на дно водоёма. При этом происходит изотермическое сжатие воздуха до конечного объёма $V_2$ (в л). Работа, совершаемая
водой при сжатии воздуха, вычисляется по формуле $A=\alpha \text{υ}T{\log }_2\frac{V_1}{V_2}$,
где $\alpha =\mathrm{5,8}\frac{\text{Дж}}{\text{моль}\cdot \text{К}}$ $—$ постоянная, $T=300\text{К}$ $—$ температура воздуха. Найдите, какой объём $V_2$ будет занимать воздух в колоколе, если при сжатии воздуха была совершена работа в 20 880 Дж. Ответ дайте в литрах.

Водолазный колокол, содержащий $\text{υ}=7$ моль воздуха объёмом $V_1=64\text{л}$, медленно опускают на дно водоёма. При этом происходит изотермическое сжатие воздуха до конечного объёма $V_2$ (в л). Работа, совершаемая
водой при сжатии воздуха, вычисляется по формуле $A=\alpha \text{υ}T{\log }_2\frac{V_1}{V_2}$,
где $\alpha =\mathrm{5,8}\frac{\text{Дж}}{\text{моль}\cdot \text{К}}$ $—$ постоянная, $T=300\text{К}$ $—$ температура воздуха. Найдите, какой объём $V_2$ будет занимать воздух в колоколе, если при сжатии воздуха была совершена работа в 36 540 Дж. Ответ дайте в литрах.

Водолазный колокол, содержащий ${\displaystyle \text{υ}=6}$ моль воздуха объёмом ${\displaystyle V_1=56\text{л}}$, медленно опускают на дно водоёма. При этом происходит изотермическое сжатие воздуха до конечного объёма ${\displaystyle V_2}$ (в л). Работа, совершаемая водой при сжатии воздуха, вычисляется по формуле ${\displaystyle A=\alpha \text{υ}T{\log }_2\frac{V_1}{V_2}}$, где ${\displaystyle \alpha =\mathrm{5,8}\frac{\text{Дж}}{\text{моль}\cdot \text{К}}}$ — постоянная, ${\displaystyle T=300\text{К}}$ — температура воздуха. Найдите, какой объём ${\displaystyle V_2}$ будет занимать воздух в колоколе, если при сжатии воздуха была совершена работа в 31 320 Дж. Ответ дайте в литрах.

Водолазный колокол, содержащий $\text{υ}=8$ моль воздуха при давлении
$p_1=20$ атмосфер, медленно опускают на дно водоёма. При этом происходит изотермическое сжатие воздуха до конечного давления $p_2$ (в атмосферах). Работа, совершаемая водой при сжатии воздуха, вычисляется по формуле $A=\alpha \text{υ}T{\log }_2\frac{p_2}{p_1}$, где $\alpha =\mathrm{5,8}\frac{\text{Дж}}{\text{моль}\cdot \text{K}}$ $—$ постоянная, $T=300\text{K}$ $—$ температура воздуха. Найдите давление $p_2$ воздуха в колоколе,
если при сжатии воздуха была совершена работа в 27 840 Дж.
Ответ дайте в атмосферах.

В телевизоре ёмкость высоковольтного конденсатора ${\displaystyle C=5\cdot {10}^{-6}\text{Ф}\text{.}}$ Параллельно с конденсатором подключён резистор с сопротивлением ${\displaystyle R=3\cdot {10}^6\text{Ом}\text{.}}$ Во время работы телевизора напряжение на конденсаторе ${\displaystyle U_0=32\text{кВ}\text{.}}$ После выключения телевизора напряжение на конденсаторе убывает до значения  (в киловольтах) за время (в секундах), определяемое выражением ${\displaystyle t=\alpha RC{\log }_2\frac{U_0}{U}}$, где ${\displaystyle \alpha =\mathrm{1,5}}$ — постоянная. Определите напряжение на конденсаторе, если после выключения телевизора прошло
90 секунд. Ответ дайте в киловольтах.

В ходе распада радиоактивного изотопа его масса m (в мг) уменьшается
по закону ${\displaystyle m=m_0\cdot 2^{-\frac{\tau }{T}}}$, где ${\displaystyle m_0}$ — начальная масса изотопа (в мг), ${\displaystyle \tau }$ — время, прошедшее от начального момента, в минутах, ${\displaystyle T}$ — период полураспада
в минутах. В начальный момент времени масса изотопа 156 мг. Период его полураспада составляет 8 минут. Найдите, через сколько минут масса изотопа будет равна 39 мг.

В ходе распада радиоактивного изотопа его масса уменьшается по закону ${\displaystyle m=m_0\cdot 2^{-\frac{t}{T}}}$, где ${\displaystyle m_0}$ ${\displaystyle —}$ начальная масса изотопа, ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle —}$ время, прошедшее от начального момента, ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle —}$ период полураспада. В начальный момент времени масса изотопа 100 мг. Период его полураспада составляет 2 мин. Найдите, через сколько минут масса изотопа будет равна 12,5 мг.

Водолазный колокол, содержащий $\text{υ}=3$ моль воздуха при давлении
$p_1=\mathrm{1,4}$ атмосферы, медленно опускают на дно водоёма. При этом происходит изотермическое сжатие воздуха до конечного давления $p_2$ 
(в атмосферах). Работа A (в Дж), совершаемая водой при сжатии воздуха, вычисляется по формуле $A=\text{αυ}T{\log }_2\frac{p_2}{p_1}$, где $\text{α}=\mathrm{10,9}$ $\frac{\text{Дж}}{\text{моль}\cdot \text{K}}$ $—$ постоянная, $T=300\text{K}$ $—$ температура воздуха. Найдите давление $p_2$ воздуха в колоколе, если при сжатии воздуха была совершена работа 29 430 Дж. Ответ дайте в атмосферах.

В телевизоре ёмкость высоковольтного конденсатора $C=8\cdot {10}^{-6}\text{Ф}\text{.}$ Параллельно с конденсатором подключён резистор с сопротивлением $R=5\cdot {10}^6\text{Ом}\text{.}$ Во время работы телевизора напряжение на конденсаторе $U_0=56\text{кВ}\text{.}$ После выключения телевизора напряжение на конденсаторе убывает до значения  (в киловольтах) за время (в секундах), определяемое выражением $t=\alpha RC{\log }_2\frac{U_0}{U}$, где $\alpha =\mathrm{1,5}$ $—$ постоянная. Определите напряжение на конденсаторе, если после выключения телевизора прошло
180 секунд. Ответ дайте в киловольтах.

Водолазный колокол, содержащий ${\displaystyle \text{υ}=2}$ моль воздуха объёмом ${\displaystyle V_1=120\text{л}}$, медленно опускают на дно водоёма. При этом происходит изотермическое сжатие воздуха до конечного объёма ${\displaystyle V_2}$ (в л). Работа A (в Дж), совершаемая водой при сжатии воздуха, вычисляется по формуле ${\displaystyle A=\text{αυ}T{\log }_2\frac{V_1}{V_2}}$,
где ${\displaystyle \text{α}=\mathrm{8,7}\frac{\text{Дж}}{\text{моль}\cdot \text{К}}}$ — постоянная, ${\displaystyle T=300\text{К}}$ — температура воздуха. Найдите, какой объём ${\displaystyle V_2}$ будет занимать воздух в колоколе, если при сжатии воздуха была совершена работа в 10 440 Дж. Ответ дайте в литрах.

В ходе распада радиоактивного изотопа его масса m (в мг) уменьшается
по закону $m=m_0\cdot 2^{-\frac{\tau }{T}}\text{},$ где $m_0$ $—$ начальная масса изотопа (в мг), $\tau$ $—$ время (в минутах), прошедшее от начального момента, $T$ $—$ период полураспада
(в минутах). В начальный момент времени масса изотопа равна 196 мг. Период его полураспада составляет 4 минуты. Найдите, через сколько минут масса изотопа будет равна 49 мг.

В ходе распада радиоактивного изотопа его масса m (в мг) уменьшается
по закону $m=m_0\cdot 2^{-\frac{\tau }{T}}\text{},$ где $m_0$ $—$ начальная масса изотопа (в мг), $\tau$ $—$ время (в минутах), прошедшее от начального момента, $T$ $—$ период полураспада
(в минутах). В начальный момент времени масса изотопа равна 20 мг. Период его полураспада составляет 10 минут. Найдите, через сколько минут масса изотопа будет равна 5 мг.

Водолазный колокол, содержащий  моль воздуха при давлении
$p_1=11$ атмосфер, медленно опускают на дно водоёма. При этом происходит изотермическое сжатие воздуха до конечного давления $p_2$ (в атмосферах). Работа, совершаемая водой при сжатии воздуха, вычисляется по формуле $A=\alpha \text{υ}T{\log }_2\frac{p_2}{p_1}$, где $\alpha =\mathrm{5,8}\frac{\text{Дж}}{\text{моль}\cdot \text{K}}$ $—$ постоянная, $T=300\text{K}$ $—$ температура воздуха. Найдите давление $p_2$ воздуха в колоколе,
если при сжатии воздуха была совершена работа в 26 100 Дж.
Ответ дайте в атмосферах.

Водолазный колокол, содержащий $\text{υ}=3$ моль воздуха объёмом $V_1=16\text{л}$, медленно опускают на дно водоёма. При этом происходит изотермическое сжатие воздуха до конечного объёма $V_2$ (в л). Работа (в Дж), совершаемая водой при сжатии воздуха, вычисляется по формуле $A=\text{αυ}T{\log }_2\frac{V_1}{V_2}$,
где $\text{α}=\mathrm{9,9}$ $\frac{\text{Дж}}{\text{моль}\cdot \text{К}}$ $—$ постоянная, $T=300\text{К}$ $—$ температура воздуха. Найдите, какой объём $V_2$ будет занимать воздух в колоколе, если при сжатии воздуха была совершена работа 26 730 Дж. Ответ дайте в литрах.

Водолазный колокол, содержащий $\text{υ}=6$ моль воздуха при давлении
$p_1=\mathrm{2,5}$ атмосферы, медленно опускают на дно водоёма. При этом происходит изотермическое сжатие воздуха до конечного давления $p_2$ 
(в атмосферах). Работа (в джоулях), совершаемая водой при сжатии воздуха, вычисляется по формуле $A=\text{αυ}T{\log }_2\frac{p_2}{p_1}$, где $\text{α}=\mathrm{5,75}$ $\frac{\text{Дж}}{\text{моль}\cdot \text{K}}$ $—$ постоянная, $T=300\text{K}$ $—$ температура воздуха. Найдите, какое давление $p_2$ будет иметь воздух в колоколе, если при сжатии воздуха была совершена работа в 10 350 Дж. Ответ дайте в атмосферах.