Задание D3ACC5 по неравенствам

Допустимые значения выводим так: (2−x)(x²+5)>0 даёт x<2. При x<2 также положительны x²−5x+6=(x−2)(x−3) и 4−x, поэтому допустимые значения — x<2.

Допустимые значения: x<2. Объединяем логарифмы справа и сокращаем положительный множитель 2−x.

Вычисления: Правая часть равна log₃((x²−5x+6)(4−x))=log₃((2−x)(3−x)(4−x)). При x<2 сокращаем положительный множитель 2−x и получаем x²+5≥(3−x)(4−x)=x²−7x+12.

Метод рационализации — разность логарифмов: при A>0, B>0, a>0 и a≠1 выполняется (logₐA−logₐB)(A−B)(a−1)≥0. Поэтому при a>1 знак разности логарифмов совпадает со знаком A−B, а при 0<a<1 — противоположен ему. После объединения это log₃A−log₃B≥0, где A=(2−x)(x²+5), B=(x²−5x+6)(4−x). На допустимых значениях A,B>0, поэтому рационализация при основании 3>1 даёт A−B≥0.

Все умножения, сокращения и сравнения аргументов выполняем только с положительными выражениями из допустимых значений. Поэтому направление исходного неравенства при переходе к полученной алгебраической записи не меняется.

В таблице знаков отмечаем все нули числителя и точки, в которых выражение не определено. На каждом получившемся промежутке знак постоянен, поэтому достаточно определить знак одного множителя или контрольной точки. Нули числителя включаем при нестрогом знаке, а нули знаменателя всегда исключаем.

Остаётся неравенство x²+5≥x²−7x+12, то есть x≥1.

Ответ: [1; 2).