Задание 5F6C59: Задачи с параметром

Заметим, что x⁴+2x³−2x−1=(x+1)²(x²−1). Выносим общий множитель и группируем: исходная левая часть равна (x+1)[a²+x(x+1)a+(x+1)(x²−1)]=(x+1)(a+x+1)(a+x²−1).

Следовательно, возможные корни: x=−1, x=−a−1 и корни x²=1−a. При a>1 квадратное уравнение не имеет действительных корней, а два линейных корня различны, поскольку a≠0. Все a>1 подходят.

При a=1 квадратный множитель даёт x=0, а линейные — x=−1 и x=−2. Получаются три корня, это значение не подходит.

При a<1 квадратный множитель даёт два различных корня ±√1−a. Чтобы всего было ровно два, постоянный корень −1 должен входить в эту пару. Это требует 1−a=1, то есть a=0. Тогда второй линейный корень тоже равен −1, а полный набор корней {−1; 1} действительно состоит из двух чисел. При других a<1 имеется как минимум третий корень −1.

Ответ: a∈{0}∪(1; +∞).