Задание 000E35 по неравенствам

Допустимые значения выводим так: 1x+2>0, x+5>0 и x+4x²>0. Пересечение условий равно x∈(−4; −12)∪(0; ∞).

Допустимые значения: x∈(−4; −12) ∪ (0; ∞). После объединения логарифмов и сравнения аргументов получаем (x−10)(x+2)≥0.

Вычисления: Объединяем левую часть: log₃(2x+1x(x+5))≥log₃(x+4x²). В допустимых значениях x²(x+5)>0; после умножения получаем (2x+1)x≥(x+4)(x+5), то есть (x−10)(x+2)≥0.

Метод рационализации — разность логарифмов: при A>0, B>0, a>0 и a≠1 выполняется (logₐA−logₐB)(A−B)(a−1)≥0. Поэтому при a>1 знак разности логарифмов совпадает со знаком A−B, а при 0<a<1 — противоположен ему. Это log₃A−log₃B≥0, где A=2x+1x(x+5), B=x+4x². На допустимых значениях A,B>0; так как 3>1, метод рационализации даёт A−B≥0.

Все умножения, сокращения и сравнения аргументов выполняем только с положительными выражениями из допустимых значений. Поэтому направление исходного неравенства при переходе к полученной алгебраической записи не меняется.

В таблице знаков отмечаем все нули числителя и точки, в которых выражение не определено. На каждом получившемся промежутке знак постоянен, поэтому достаточно определить знак одного множителя или контрольной точки. Нули числителя включаем при нестрогом знаке, а нули знаменателя всегда исключаем.

Пересечение с допустимыми значениями даёт два промежутка.

Ответ: (−4; −2] ∪ [10; ∞).