Задание 3416BF по неравенствам

Допустимые значения выводим так: при t=2ˣ>0 знаменатели дают (2t−1)(t−4)≠0 и t−2≠0. Следовательно, t≠12,2,4, то есть x≠−1,1,2.

Положим t=2ˣ. Допустимые значения: t>0, t≠12, t≠2, t≠4. После приведения дробей к общему знаменателю выражение слева минус выражение справа равно 2(t−3)(t−4)(t−2).

Вычисления: Подставляем t=2ˣ: 8⁽ˣ⁺²⧸³⁾=4t³ и 4⁽ˣ⁺¹⧸²⁾=2t². После переноса всех дробей к левой части и приведения к общему знаменателю получается 2(t−3)(t−4)(t−2)≤0.

Введённая переменная t всегда положительна. Соответствующая показательная функция возрастает, поэтому порядок положительных критических значений t сохраняется; на последнем шаге каждую границу переводим обратно в значение x.

В таблице знаков отмечаем все нули числителя и точки, в которых выражение не определено. На каждом получившемся промежутке знак постоянен, поэтому достаточно определить знак одного множителя или контрольной точки. Нули числителя включаем при нестрогом знаке, а нули знаменателя всегда исключаем.

Решая полученное неравенство методом интервалов и сохраняя все исключённые точки, получаем 0<t<2, t≠12, либо 3≤t<4.

Ответ: (−∞; −1) ∪ (−1; 1) ∪ [log₂3; 2).