Задание C83D51 по неравенствам

Допустимые значения выводим так: log₃(81x) требует x>0. Знаменатели содержат y−4 и y+4, поэтому y≠4,−4, то есть x≠81 и x≠181.

Положим y=log₃x. Допустимые значения: y≠−4, y≠4. После переноса правой части влево получаем 2(y+2)²(y−4)(y+4)≥0.

Вычисления: При y=log₃x имеем log₃(81x)=y+4, а log₃(x⁸)=8y. После общего знаменателя числитель равен (y+4)²+(y−4)²−(24−8y)=2(y+2)².

Замена y сводит логарифмическое неравенство к обычному рациональному или квадратному. После решения неравенства для y возвращаемся к x по определению логарифма и обязательно пересекаем полученное множество с допустимыми значениями.

В таблице знаков отмечаем все нули числителя и точки, в которых выражение не определено. На каждом получившемся промежутке знак постоянен, поэтому достаточно определить знак одного множителя или контрольной точки. Нули числителя включаем при нестрогом знаке, а нули знаменателя всегда исключаем.

Подходят y<−4, y>4 и точка y=−2.

Ответ: (0; 181) ∪ {19} ∪ (81; ∞).