Задание 41D348: Неравенства

С исходного изображения читаем неравенство 9ˣ−4·3ˣ+3log₅(2ˣ)≤0. Аргумент логарифма положителен при любом x, но log₅(2ˣ)=x·log₅2 не должен равняться нулю. Поэтому ОДЗ: x≠0.

Числитель равен (3ˣ−1)(3ˣ−3). Так как log₅2>0, знаменатель имеет знак x. Функция 3ˣ строго возрастает: первый множитель меняет знак при x=0, второй — при x=1.

При x<0 оба множителя числителя отрицательны, их произведение положительно, а знаменатель отрицателен — дробь отрицательна. При 0<x<1 числитель отрицателен, знаменатель положителен — дробь тоже отрицательна. При x>1 все множители положительны — условие не выполняется.

При x=1 числитель равен нулю, знаменатель ненулевой, поэтому точку включаем. При x=0 одновременно обнуляются числитель и знаменатель, но исходная дробь не определена: эту точку исключаем.

Ответ: x∈(−∞; 0)∪(0; 1].