Задание 905CCB: Неравенства

Допустимые значения выводим так: log₄x требует x>0. Знаменатель (y−3)² не равен нулю, поэтому y≠3 и x≠64.

Положим y=log₄x. Допустимые значения: y≠3. Левая часть после приведения к общему знаменателю равна y(y−1)(y−3)².

Вычисления: При y=log₄x последний знаменатель: y²−(3+6y)+12=(y−3)². Поэтому 1+5y−3+6(y−3)²=(y−3)²+5(y−3)+6(y−3)²=y(y−1)(y−3)².

Замена y сводит логарифмическое неравенство к обычному рациональному или квадратному. После решения неравенства для y возвращаемся к x по определению логарифма и обязательно пересекаем полученное множество с допустимыми значениями.

В таблице знаков отмечаем все нули числителя и точки, в которых выражение не определено. На каждом получившемся промежутке знак постоянен, поэтому достаточно определить знак одного множителя или контрольной точки. Нули числителя включаем при нестрогом знаке, а нули знаменателя всегда исключаем.

Следовательно, y≤0 или y≥1, при этом y=3 исключается.

Ответ: (0; 1] ∪ [4; 64) ∪ (64; ∞).