Фигуры на плоскости — задания ЕГЭ по профильной математике

Окружность проходит через вершины В и С треугольника АВС и пересекает АВ и АС в точках С₁ и В₁ соответственно.

а) Докажите, что треугольник АВC подобен треугольнику АВ₁С₁.

б) Вычислите длину стороны ВС и радиус данной окружности, если ${\displaystyle \angle }$ А= ${\displaystyle 30°}$, В₁С₁= ${\displaystyle 5}$ и площадь треугольника АВ₁С₁ в пять раз меньше площади четырёхугольника ВСВ₁С₁.

Диагонали равнобедренной трапеции ${\displaystyle ABCD}$ с основаниями ${\displaystyle BC}$ и ${\displaystyle AD}$ перпендикулярны. Окружность с диаметром ${\displaystyle AD}$ пересекает боковую сторону ${\displaystyle CD}$ в точке ${\displaystyle M}$, а окружность с диаметром ${\displaystyle CD}$ пересекает основание ${\displaystyle AD}$ в точке ${\displaystyle N}$. Отрезки ${\displaystyle AM}$ и ${\displaystyle CN}$ пересекаются в точке ${\displaystyle P}$.

а) Докажите, что в четырёхугольник ${\displaystyle ABCP}$ можно вписать окружность.

б) Найдите радиус этой окружности, если ${\displaystyle BC=7}$, ${\displaystyle AD=23}$.

Дана трапеция ${\displaystyle ABCD}$ с основаниями ${\displaystyle AD}$ и ${\displaystyle BC}$. Диагональ ${\displaystyle BD}$ разбивает её на два равнобедренных треугольника с основаниями ${\displaystyle AD}$ и ${\displaystyle CD}$.

а) Докажите, что луч ${\displaystyle AC}$ ${\displaystyle —}$ биссектриса угла ${\displaystyle BAD}$.

б) Найдите ${\displaystyle CD}$, если известны диагонали трапеции: ${\displaystyle AC=12}$ и ${\displaystyle BD=\mathrm{6,5}}$.

Окружность проходит через вершины В и С треугольника АВС и пересекает АВ и АС в точках С₁ и В₁ соответственно.

а) Докажите, что треугольник АВC подобен треугольнику АВ₁С₁.

б) Вычислите длину стороны ВС и радиус данной окружности, если ${\displaystyle \angle }$ А= ${\displaystyle {45}^{\circ }}$, В₁С₁= ${\displaystyle 6}$ и площадь треугольника АВ₁С₁ в восемь раз меньше площади четырёхугольника ВСB₁C₁.

Диагонали равнобедренной трапеции ${\displaystyle ABCD}$ с основаниями ${\displaystyle BC}$ и ${\displaystyle AD}$ перпендикулярны. Окружность с диаметром ${\displaystyle AD}$ пересекает боковую сторону ${\displaystyle CD}$ в точке ${\displaystyle M}$, а окружность с диаметром ${\displaystyle CD}$ пересекает основание ${\displaystyle AD}$ в точке ${\displaystyle N}$. Отрезки ${\displaystyle AM}$ и ${\displaystyle CN}$ пересекаются в точке ${\displaystyle P}$.

а) Докажите, что в четырёхугольник ${\displaystyle ABCP}$ можно вписать окружность.

б) Найдите радиус этой окружности, если ${\displaystyle BC=7}$, ${\displaystyle AD=17}$.

Точки P, Q, W делят стороны выпуклого четырёхугольника ${\displaystyle ABCD}$ в отношении ${\displaystyle AP:PB=CQ:QB=CW:WD=3:4}$, радиус окружности, описанной около треугольника PQW, равен 10, ${\displaystyle PQ=\mathrm{16,}QW=12}$, угол PWQ ${\displaystyle —}$ острый.

а) Докажите, что треугольник ${\displaystyle PQW}$ ${\displaystyle —}$ прямоугольный.

б) Найдите площадь четырёхугольника ${\displaystyle ABCD}$.

Окружность проходит через вершины В и С треугольника АВС и пересекает АВ и АС в точках С₁ и В₁ соответственно.

а) Докажите, что треугольник АВC подобен треугольнику АВ₁С₁.

б) Вычислите длину стороны ВС и радиус данной окружности, если ${\displaystyle \angle }$ А= ${\displaystyle {135}^{\circ }}$, B₁C₁=10 и площадь треугольника АВ₁С₁ в семь раз меньше площади четырёхугольника ВСB₁C₁.

Прямая, проходящая через середину ${\displaystyle M}$ гипотенузы ${\displaystyle AB}$ прямоугольного треугольника ${\displaystyle ABC}$, перпендикулярна ${\displaystyle CM}$ и пересекает катет ${\displaystyle AC}$ в точке ${\displaystyle K}$. При этом ${\displaystyle AK:KC=1:2}$.

а) Докажите, что ${\displaystyle \angle BAC=30°}$.

б) Пусть прямые ${\displaystyle MK}$ и ${\displaystyle BC}$ пересекаются в точке ${\displaystyle P}$, а прямые ${\displaystyle AP}$ и ${\displaystyle BK}$ ${\displaystyle —}$ в точке ${\displaystyle Q}$. Найдите ${\displaystyle KQ}$, если ${\displaystyle BC=\sqrt{21}}$.

Точки P, Q, W делят стороны выпуклого четырёхугольника ${\displaystyle ABCD}$ в отношении ${\displaystyle AP:PB=CQ:QB=CW:WD=1:4}$, радиус окружности, описанной около треугольника PQW, равен 10, ${\displaystyle PQ=\mathrm{16,}QW=12}$, угол ${\displaystyle PWQ}$ ${\displaystyle —}$ острый.

а) Докажите, что треугольник ${\displaystyle PQW}$ ${\displaystyle —}$ прямоугольный.

б) Найдите площадь четырёхугольника ${\displaystyle ABCD}$.

Окружность проходит через вершины В и С треугольника АВС и пересекает АВ и АС в точках С₁ и В₁ соответственно.

а) Докажите, что треугольник АВC подобен треугольнику АВ₁С₁.

б) Вычислите длину стороны ВС и радиус данной окружности, если ${\displaystyle \angle }$ А= ${\displaystyle 45°}$, В₁С₁= ${\displaystyle 6}$ и площадь треугольника АВ₁С₁ в восемь раз меньше площади четырёхугольника ВСВ₁С₁.

Окружность проходит через вершины В и С треугольника АВС и пересекает АВ и АС в точках С₁ и В₁ соответственно.

а) Докажите, что треугольник АВC подобен треугольнику АВ₁С₁

б) Вычислите длину стороны В₁С₁ и радиус данной окружности, если ${\displaystyle \angle A=150°}$, ${\displaystyle BC=5\sqrt{5}}$ и площадь треугольника АВ₁С₁ в четыре раза меньше площади четырёхугольника ВСВ₁С₁.

Окружность проходит через вершины В и С треугольника АВС и пересекает АВ и АС в точках С₁ и В₁ соответственно.

а) Докажите, что треугольник АВC подобен треугольнику АВ₁С₁

б) Вычислите длину стороны В₁С₁ и радиус данной окружности, если ${\displaystyle \angle A=120°}$, ${\displaystyle BC=10\sqrt{7}}$ и площадь треугольника АВ₁С₁ в три раза меньше площади четырёхугольника ВСВ₁С₁.

Прямая, проходящая через вершину ${\displaystyle B}$ прямоугольника ${\displaystyle ABCD}$ перпендикулярно диагонали ${\displaystyle AC}$, пересекает сторону ${\displaystyle AD}$ в точке ${\displaystyle M}$, равноудалённой от вершин ${\displaystyle B}$ и ${\displaystyle D}$.

а) Докажите, что ${\displaystyle \angle ABM=\angle DBС=30°}$.

б) Найдите расстояние от центра прямоугольника до прямой ${\displaystyle CM}$, если ${\displaystyle BC=9}$.

Дана трапеция ${\displaystyle ABCD}$ с основаниями ${\displaystyle AD}$ и ${\displaystyle BC}$. Диагональ ${\displaystyle BD}$ разбивает её на два равнобедренных треугольника с основаниями ${\displaystyle AD}$ и ${\displaystyle CD}$.

а) Докажите, что луч ${\displaystyle AC}$ ${\displaystyle —}$ биссектриса угла ${\displaystyle BAD}$.

б) Найдите ${\displaystyle CD}$, если известны диагонали трапеции: ${\displaystyle AC=15}$ и ${\displaystyle BD=\mathrm{8,5}}$.

На сторонах ,  и  треугольника  отмечены точки ,  и  соответственно, причём , , . Отрезки  и  пересекаются в точке .

а) Докажите, что четырёхугольник  — параллелограмм.

б) Найдите радиус окружности, описанной около треугольника , если отрезки  и  перпендикулярны, , .

В равнобедренном остроугольном треугольнике $ABC$ проведены
высоты $AH$ и $CT$ к боковым сторонам $BC$ и $AB$. Отрезки $HM$ и $HK$ $—$ перпендикуляры к прямым $AB$ и $AC$ соответственно. Отрезки $CT$ и $MK$ пересекаются в точке $E.$

а) Докажите, что $TH=ME.$

б) Найдите длину отрезка $EK,$ если $AB=13$ и $AC=10.$ 

В треугольнике ${\displaystyle ABC}$ точки ${\displaystyle A_1}$, ${\displaystyle B_1}$ и ${\displaystyle C_1}$ ${\displaystyle —}$ середины сторон ${\displaystyle BC}$, ${\displaystyle AC}$ и ${\displaystyle AB}$ соответственно, ${\displaystyle AH}$ ${\displaystyle —}$ высота, ${\displaystyle \angle BAC=60°}$, ${\displaystyle \angle BCA=45°}$.

а) Докажите, что точки ${\displaystyle A_1}$, ${\displaystyle B_1}$, ${\displaystyle C_1}$ и ${\displaystyle H}$ лежат на одной окружности.

б) Найдите ${\displaystyle A_{1}H}$, если ${\displaystyle BC=2\sqrt{3}}$.

В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания.
На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle B}$ и ${\displaystyle C}$,
а на окружности другого основания ${\displaystyle —}$ точка ${\displaystyle C_1}$, причём ${\displaystyle C{C}_1}$ ${\displaystyle —}$ образующая цилиндра, а ${\displaystyle AC}$ ${\displaystyle —}$ диаметр основания. Известно, что ${\displaystyle \angle ACB=45°}$, ${\displaystyle AB=2\sqrt{3}}$, ${\displaystyle C{C}_1=2\sqrt{6}}$.

а) Докажите, что угол между прямыми ${\displaystyle A{C}_1}$ и ${\displaystyle BC}$ равен ${\displaystyle 60°}$.

б) Найдите расстояние от точки ${\displaystyle B}$ до прямой ${\displaystyle A{C}_1}$.

Четырёхугольник ${\displaystyle ABCD}$ вписан в окружность радиуса ${\displaystyle R=8}$. Известно,
что ${\displaystyle AB=BC=CD=12}$.

а) Докажите, что прямые ${\displaystyle BC}$ и ${\displaystyle AD}$ параллельны.