Задание 638272 по уравнениям

Область допустимых значений: sin x>0 и 2cos x+√3≠0.

Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда её числитель равен нулю. Обозначим y=log₂(sin x). Получаем:
y²+y=0,
y(y+1)=0.

1) y=0. Тогда sin x=1, откуда x=π2+2πk, k∈ℤ.

2) y=−1. Тогда sin x=12. Возможные корни: x=π6+2πk и x=5π6+2πk, k∈ℤ. При x=5π6+2πk знаменатель 2cos x+√3 равен нулю, поэтому эти значения не входят в область допустимых значений.

Итак, x=π6+2πk или x=π2+2πk, k∈ℤ.

На отрезке [0;3π2] получаем x=π6 и x=π2.

Ответ: π6; π2.

а) Общее решение: x=π6+2πn; x=π2+2πn, n∈ℤ.

б) Корни на заданном отрезке: π6; π2.

Графическая проверка:
На верхнем графике y=sin x уровни y=1 и y=12 дают кандидаты x=π6, x=π2 и x=5π6. Нижний график y=2cos x+√3 показывает, что при x=5π6 знаменатель равен нулю. Поэтому остаются x=π6 и x=π2.