Задание BE30B7 по неравенствам

Допустимые значения выводим так: 2−x>0 и x+1>0 дают −1<x<2. Кроме того, x≠0 и (log₂(x²)+1)²≠0, поэтому x≠±1√2.

Допустимые значения: −1<x<2, x≠0, x≠±1√2. Знаменатель равен (log₂(x²)+1)² и положителен в допустимых значениях.

Вычисления: Знаменатель преобразуется так: log₂²(x²)+log₂(x⁴)+1=(log₂(x²))²+2log₂(x²)+1=(log₂(x²)+1)². Поэтому решаем log₂(2−xx+1)≥0, то есть 2−xx+1≥1 и x≤12.

Метод рационализации — разность логарифмов: при A>0, B>0, a>0 и a≠1 выполняется (logₐA−logₐB)(A−B)(a−1)≥0. Поэтому при a>1 знак разности логарифмов совпадает со знаком A−B, а при 0<a<1 — противоположен ему. log₂(2−xx+1)≥0 — это log₂(2−xx+1)−log₂1≥0. По рационализации при основании 2>1 получаем 2−xx+1−1≥0.

Все умножения, сокращения и сравнения аргументов выполняем только с положительными выражениями из допустимых значений. Поэтому направление исходного неравенства при переходе к полученной алгебраической записи не меняется.

В таблице знаков отмечаем все нули числителя и точки, в которых выражение не определено. На каждом получившемся промежутке знак постоянен, поэтому достаточно определить знак одного множителя или контрольной точки. Нули числителя включаем при нестрогом знаке, а нули знаменателя всегда исключаем.

Поэтому достаточно решить log₂((2−x)(x+1)⁻¹)≥0. Так как основание больше 1, это равносильно x≤12.

Ответ: (−1; −1√2) ∪ (−1√2; 0) ∪ (0; 12].