Задание 50E75D по неравенствам

Допустимые значения выводим так: оба логарифма определены, когда 2−x>0 и x+2>0. Пересечение этих условий: −2<x<2.

Допустимые значения: −2<x<2. После приведения логарифмов к основанию 5 неравенство равносильно f(x)≥0, где f(x)=x²4ln(2−x)−2ln(x+2).

Вычисления: Для f(x)=x²4ln(2−x)−2ln(x+2) имеем f′(x)=x2ln(2−x)−x²4(2−x)−2x+2. На (−1; 0) все три слагаемых отрицательны, поэтому f строго убывает; f(−1)=14ln3>0, а f(0)=−2ln2<0.

Все умножения, сокращения и сравнения аргументов выполняем только с положительными выражениями из допустимых значений. Поэтому направление исходного неравенства при переходе к полученной алгебраической записи не меняется.

Для численного корня отдельно проверяем смену знака функции по разные стороны от него. Монотонность на указанном промежутке означает, что других корней там нет; граница α включается, так как неравенство нестрогое.

При −2<x≤−1 оно верно: первый член неотрицателен, а второй неотрицателен. На отрезке (−1; 0) функция f строго убывает и имеет единственный корень α≈−0,889387; при 0≤x<2 неравенство не выполняется.

Ответ: (−2; α], где α≈−0,889387 — единственный корень уравнения x²4ln(2−x)=2ln(x+2).