Задание 70530E по неравенствам

Допустимые значения выводим так: аргумент log₅(6−x) положителен, поэтому x<6.

Допустимые значения: x<6. Имеем log₆₂₅(6−x)=14log₅(6−x), а x²−12x+36=(6−x)². Поэтому неравенство равносильно (x²−8)log₅(6−x)≤0.

Вычисления: Так как log₆₂₅(6−x)=14log₅(6−x), а x²−12x+36=(6−x)², после умножения на 4 остаётся (x²−8)log₅(6−x)≤0. Здесь x²−8=(x−2√2)(x+2√2).

Все умножения, сокращения и сравнения аргументов выполняем только с положительными выражениями из допустимых значений. Поэтому направление исходного неравенства при переходе к полученной алгебраической записи не меняется.

В таблице знаков отмечаем все нули числителя и точки, в которых выражение не определено. На каждом получившемся промежутке знак постоянен, поэтому достаточно определить знак одного множителя или контрольной точки. Нули числителя включаем при нестрогом знаке, а нули знаменателя всегда исключаем.

Логарифм меняет знак при x=5. После таблицы знаков множителей остаются два промежутка.

Ответ: [−2√2; 2√2] ∪ [5; 6).