Задание 8D6C09 по задачам с параметром

ОДЗ: x+a>0.

Разность квадратов равна нулю:
(x+ln(x+a))²−(x−ln(x+a))²=4x·ln(x+a)=0.

Первый множитель даёт x=0. Эта точка принадлежит ОДЗ тогда и только тогда, когда a>0.

Второй множитель даёт ln(x+a)=0, то есть x+a=1 и x=1−a. На отрезке [0; 1] эта точка лежит тогда и только тогда, когда 0≤a≤1.

Теперь считаем различные корни. При a<0 корней нет. При a=0 остаётся только x=1. При 0<a<1 получаются две разные точки x=0 и x=1−a. При a=1 обе записи задают одну и ту же точку x=0. При a>1 остаётся только x=0.

Следовательно, ровно один корень получается при a=0 или a≥1.

Ответ: a=0 или a≥1.