Целые и дробно-рациональные уравнения — задания ЕГЭ по профильной математике

Решите неравенство

В июле 2028 года планируется взять в банке кредит на три года в размере 6 млн рублей. Условия его возврата таковы:

$—$ каждый январь долг увеличивается на $r$ % по сравнению с концом предыдущего года;

$—$ с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга;

$—$ в июле 2029 и 2030 годов долг должен быть на 70 % меньше долга на июль предыдущего года;

$—$ к июлю 2031 года долг должен быть выплачен полностью.

Известно, что сумма всех платежей после полного погашения кредита будет равна 8085 тыс. рублей. Найдите $r.$ 

а) Решите уравнение

${\displaystyle {16}^{\sin x}\text{}+{16}^{\sin \left(x+\text{π}\right)}=\frac{17}{4}}$.

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку ${\displaystyle \left[\frac{3\text{π}}{2};3\text{π}\right]}$.

Решите неравенство ${\displaystyle 3^{{\log }_3\left(4-x^2\right)}+x^4-10\ge 0.}$ 

В июле 2028 года планируется взять в банке кредит на четыре года в размере $S$ тыс. рублей. Условия его возврата таковы:

$—$ каждый январь долг увеличивается на 20 % по сравнению с концом предыдущего года;

$—$ с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга;

$—$ в июле 2029, 2030 и 2031 годов долг должен быть на 20 % меньше долга на июль предыдущего года;

$—$ к июлю 2032 года долг должен быть выплачен полностью.

Известно, что сумма всех платежей после полного погашения кредита будет равна 47 712 тыс. рублей. Найдите $S.$

15-го декабря планируется взять кредит в банке на сумму 1 000 000 рублей
на ${\displaystyle \left(n+1\right)}$ месяц. Условия его возврата таковы:

${\displaystyle —}$ 1-го числа каждого месяца долг возрастает на ${\displaystyle r}$ % по сравнению с концом предыдущего месяца;

${\displaystyle —}$ со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

${\displaystyle —}$ 15-го числа каждого месяца с 1-го по ${\displaystyle n}$ -й долг должен быть на 40 тысяч рублей меньше долга на 15-е число предыдущего месяца;

${\displaystyle —}$ 15-го числа ${\displaystyle n}$ -го месяца долг составит 200 тысяч рублей;

${\displaystyle —}$ к 15-му числу ${\displaystyle \left(n+1\right)}$ -го месяца кредит должен быть полностью погашен.

Найдите ${\displaystyle r}$, если известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита составит 1378 тысяч рублей.

15 декабря 2026 года планируется взять кредит в банке на сумму
27 млн рублей на 36 месяцев. Условия его возврата таковы:

$–$ 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 3 % по сравнению с концом предыдущего месяца;

$–$ со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо одним платежом оплатить часть долга;

$–$ 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца;

$–$ к 15 декабря 2029 года кредит должен быть полностью погашен.

Чему равна общая сумма платежей в 2029 году?

15-го декабря планируется взять кредит в банке на 11 месяцев. Условия его возврата таковы:

${\displaystyle —}$ 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 1% по сравнению с концом предыдущего месяца;

${\displaystyle —}$ со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

${\displaystyle —}$ 15-го числа каждого месяца с 1-го по 10-й долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца;

${\displaystyle —}$ 15-го числа 10-го месяца долг составит 300 тысяч рублей;

${\displaystyle —}$ к 15-му числу 11-го месяца кредит должен быть полностью погашен.

Какую сумму планируется взять в кредит, если общая сумма выплат после полного его погашения составит 1388 тысяч рублей?

а) Решите уравнение

$\cos 2x+\cos \left(-x\right)=0.$

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[-\frac{\text{7π}}{2};-\text{2π}\right].$

15 декабря 2026 года планируется взять кредит в банке на сумму
12 млн рублей на 48 месяцев. Условия его возврата таковы:

– 1-го числа каждого месяца долг возрастает на r процентов по сравнению
с концом предыдущего месяца;

– со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

– 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца;

– к 15 декабря 2030 года кредит должен быть полностью погашен.

Чему равно r, если общая сумма платежей в 2030 году составит 3195 тыс. рублей?

В июле планируется взять кредит в банке на сумму 10 млн рублей
на некоторый срок (целое число лет). Условия его возврата таковы:

${\displaystyle —}$ каждый январь долг возрастает на 10% по сравнению с концом предыдущего года;

${\displaystyle —}$ с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;

${\displaystyle —}$ в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года.

На сколько лет планируется взять кредит, если известно, что общая сумма выплат после его полного погашения составит 15 млн рублей?

В июле 2020 года планируется взять кредит в банке на некоторую сумму. Условия его возврата таковы:

${\displaystyle —}$ каждый январь долг увеличивается на 10% по сравнению с концом предыдущего года;

${\displaystyle —}$ с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга.

Сколько рублей планируется взять в банке, если известно, что кредит будет полностью погашен четырьмя равными платежами (то есть за четыре года)
и банку будет выплачено 292 820 рублей?

а) Решите уравнение

${16}^{\sin x}\text{}-6\cdot 4^{\sin x}\text{}+8=0.$

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[-5\text{π};-\frac{\text{7π}}{2}\right].$

В июле 2026 года планируется взять кредит на три года в размере 800 тыс. рублей. Условия его возврата таковы:

$—$ каждый январь долг будет возрастать на 10 % по сравнению с концом предыдущего года;

$—$ с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга;

$—$ платежи в 2027 и 2028 годах должны быть равными;

$—$ к июлю 2029 года долг должен быть выплачен полностью.

Известно, что платёж в 2029 году составит 833,8 тыс. рублей. Сколько рублей составит платёж 2027 года?

а) Решите уравнение

$2{\sin }^2\text{}\left(\frac{\text{π}}{2}-x\right)+\sin 2x=0$.

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[3\text{π};\frac{9\text{π}}{2}\right]$.

В июле 2028 года планируется взять в банке кредит на три года в размере 12 млн рублей. Условия его возврата таковы:

$—$ каждый январь долг увеличивается на $r$ % по сравнению с концом предыдущего года;

$—$ с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга;

$—$ в июле 2029 и 2030 годов долг должен быть на 10 % меньше долга на июль предыдущего года;

$—$ к июлю 2031 года долг должен быть выплачен полностью.

Известно, что сумма всех платежей после полного погашения кредита будет равна 13 626 тыс. рублей. Найдите $r.$ 

15 декабря 2026 года планируется взять кредит в банке на сумму
9 млн рублей на 36 месяцев. Условия его возврата таковы:

$–$ 1-го числа каждого месяца долг возрастает на r процентов по сравнению
с концом предыдущего месяца;

$–$ со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо одним платежом оплатить часть долга;

$–$ 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца;

$–$ к 15 декабря 2029 года кредит должен быть полностью погашен.

Чему равно r, если общая сумма платежей в 2027 году составит 4830 тыс. рублей?

В июле 2025 года планируется взять кредит на десять лет. Условия его возврата таковы:

$—$ каждый январь долг будет возрастать на 30 % по сравнению с концом предыдущего года;

$—$ с февраля по июнь каждого года необходимо оплатить одним платежом часть долга;

$—$ в июле 2026, 2027, 2028, 2029 и 2030 годов долг должен быть на какую-то одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года;

$—$ в июле 2030 года долг должен составить 500 тыс. рублей;

$—$ в июле 2031, 2032, 2033, 2034 и 2035 годов долг должен быть на другую одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года;

$—$ к июлю 2035 года долг должен быть выплачен полностью.

Известно, что сумма всех платежей после полного погашения кредита будет равна 2080 тыс. рублей. Сколько рублей составит платёж в 2026 году?

15-го декабря планируется взять кредит в банке на 21 месяц. Условия его возврата таковы:

${\displaystyle —}$ 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 3% по сравнению с концом предыдущего месяца;

${\displaystyle —}$ со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

${\displaystyle —}$ 15-го числа каждого месяца с 1-го по 20-й долг должен быть на 30 тысяч рублей меньше долга на 15-е число предыдущего месяца;

${\displaystyle —}$ к 15-му числу 21-го месяца кредит должен быть полностью погашен.

Какую сумму планируется взять в кредит, если общая сумма выплат после полного его погашения составит 1604 тысячи рублей?

а) Решите уравнение

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

Решите неравенство $3^{{\log }_3\left({\log }_{3}x\right)}+{\log }_9^{2}x-8\le 0.$

15-го декабря планируется взять кредит в банке на сумму 900 тысяч рублей
на 11 месяцев. Условия его возврата таковы:

${\displaystyle —}$ 1-го числа каждого месяца долг возрастает на ${\displaystyle r}$ % по сравнению с концом предыдущего месяца;

${\displaystyle —}$ со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

${\displaystyle —}$ 15-го числа каждого месяца с 1-го по 10-й долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца;

${\displaystyle —}$ 15-го числа 10-го месяца долг составит 200 тысяч рублей;

${\displaystyle —}$ к 15-му числу 11-го месяца кредит должен быть полностью погашен.

Найдите ${\displaystyle r}$, если известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита составит 1021 тысячу рублей.

В июле планируется взять кредит в банке на сумму 5 млн рублей
на некоторый срок (целое число лет). Условия его возврата таковы:

${\displaystyle —}$ каждый январь долг возрастает на 20% по сравнению с концом предыдущего года;

${\displaystyle —}$ с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;

${\displaystyle —}$ в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года.

На сколько лет планируется взять кредит, если известно, что общая сумма выплат после его полного погашения составит 7,5 млн рублей?

В июле 2026 года планируется взять кредит на три года. Условия его возврата таковы:

$—$ каждый январь долг будет возрастать на 20 % по сравнению с концом предыдущего года;

$—$ с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга;

$—$ платежи в 2027 и в 2028 годах должны быть по 500 тыс. рублей;

$—$ к июлю 2029 года долг должен быть выплачен полностью.

Известно, что сумма всех платежей после полного погашения кредита равна 1235,2 тыс. рублей. Какую сумму планируется взять в кредит?

а) Решите уравнение

$\cos 2x-3\sin \left(-x\right)-2=0.$

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[\text{3π};\frac{\text{9π}}{2}\right].$

В июле 2026 года планируется взять кредит на три года. Условия его возврата таковы:

$—$ каждый январь долг будет возрастать на 20 % по сравнению с концом предыдущего года;

$—$ с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга;

$—$ платежи в 2027 и в 2028 годах должны быть по 300 тыс. рублей;

$—$ к июлю 2029 года долг должен быть выплачен полностью.

Известно, что платёж в 2029 году будет равен 417,6 тыс. рублей. Какую сумму планируется взять в кредит?

В июле 2020 года планируется взять кредит в банке на некоторую сумму. Условия его возврата таковы:

${\displaystyle —}$ каждый январь долг увеличивается на 10% по сравнению с концом предыдущего года;

${\displaystyle —}$ с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга.

Сколько рублей планируется взять в банке, если известно, что кредит будет полностью погашен тремя равными платежами (то есть за три года) и общая сумма выплат после полного погашения кредита на 40 980 рублей больше суммы, взятой в кредит?

В июле 2026 года планируется взять кредит на пять лет в размере 6,6 млн рублей. Условия его возврата таковы:

$—$ каждый январь долг возрастает на $r$ процентов по сравнению с концом предыдущего года;

$—$ с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;

$—$ в июле 2027, 2028 и 2029 годов долг остаётся равным 6,6 млн рублей;

$—$ суммы выплат в 2030 и 2031 годах равны.

Найдите $r,$ если известно, что долг будет выплачен полностью и общий размер выплат составит 12,6 млн рублей.

15 декабря 2026 года планируется взять кредит в банке на сумму
A млн рублей на 24 месяца. Условия его возврата таковы:

$–$ 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 3 % по сравнению с концом предыдущего месяца;

$–$ со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо одним платежом оплатить часть долга;

$–$ 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца;

$–$ к 15 декабря 2028 года кредит должен быть полностью погашен.

Чему равно A, если общая сумма платежей в 2028 году составит 17 925 тыс. рублей?

15 января планируется взять кредит в банке на 4 месяца. Условия его возврата таковы:

$—$ 1-го числа каждого месяца долг возрастает на целое число $r$ процентов по сравнению с концом предыдущего месяца;

$—$ со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо одним платежом выплатить часть долга;

$—$ 15-го числа каждого месяца долг должен составлять часть кредита в соответствии со следующей таблицей.

Найдите наименьшее значение $r,$ при котором сумма всех платежей будет превышать кредит больше чем на 30 %.

а) Решите уравнение

${\displaystyle 2{\cos }^3\text{}x-{\cos }^2\text{}x+2\cos x-1=0}$.

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку ${\displaystyle \left[\text{2π};\frac{\text{7π}}{2}\right]}$.

а) Решите уравнение

$\sin 2x+2\sin \left(-x\right)+\cos \left(-x\right)-1=0.$

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[\text{2π};\frac{\text{7π}}{2}\right].$

В июле 2025 года планируется взять кредит на десять лет в размере
1400 тыс. рублей. Условия его возврата таковы:

— каждый январь долг будет возрастать на 10 % по сравнению с концом предыдущего года;

— с февраля по июнь каждого года необходимо оплатить одним платежом часть долга;

— в июле 2026, 2027, 2028, 2029 и 2030 годов долг должен быть на какую-то одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года;

— в июле 2031, 2032, 2033, 2034 и 2035 годов долг должен быть на другую одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года;

— к июлю 2035 года долг должен быть выплачен полностью.

Известно, что сумма всех платежей после полного погашения кредита будет равна 2120 тыс. рублей. Сколько рублей составит платёж в 2026 году?

В июле 2028 года планируется взять в банке кредит на три года в размере 2500 тыс. рублей. Условия его возврата таковы:

$—$ каждый январь долг увеличивается на 20 % по сравнению с концом предыдущего года;

$—$ с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга;

$—$ в июле 2029 и 2030 годов долг должен быть на 30 % меньше долга на июль предыдущего года;

$—$ к июлю 2031 года долг должен быть выплачен полностью.

Сколько тыс. рублей составит сумма всех платежей после полного погашения кредита?

а) Решите уравнение

$\sqrt{3}{\mathrm{tg}}^2\text{}x-4\mathrm{tg}x+\sqrt{3}=0$.

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[\text{π};\frac{5\text{π}}{2}\right]$.

В июле 2026 года планируется взять кредит в банке на пять лет
в размере ${\displaystyle S}$ тыс. рублей. Условия его возврата таковы:

— каждый январь долг возрастает на 30% по сравнению с концом предыдущего года;

— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга;

— в июле 2027, 2028 и 2029 годов долг остаётся равным ${\displaystyle S}$ тыс. рублей;

— выплаты в 2030 и 2031 годах равны по 338 тыс. рублей;

— к июлю 2031 года долг будет выплачен полностью.

Найдите общую сумму выплат за пять лет.

В июле 2025 года планируется взять кредит на десять лет. Условия его возврата таковы:

$—$ каждый январь долг будет возрастать на 20 % по сравнению с концом предыдущего года;

$—$ с февраля по июнь каждого года необходимо оплатить одним платежом часть долга;

$—$ в июле 2026, 2027, 2028, 2029 и 2030 годов долг должен быть на какую-то одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года;

$—$ в июле 2030 года долг должен составить 600 тыс. рублей;

$—$ в июле 2031, 2032, 2033, 2034 и 2035 годов долг должен быть на другую одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года;

$—$ к июлю 2035 года долг должен быть выплачен полностью.

Известно, что сумма всех платежей после полного погашения кредита будет равна 2360 тыс. рублей. Какую сумму планируется взять в кредит?

а) Решите уравнение

${\displaystyle {16}^{\cos x}\text{}+{16}^{\cos \left(\text{π}-x\right)}=\frac{17}{4}}$.

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку ${\displaystyle \left[\text{π};\frac{5\text{π}}{2}\right]}$.

В июле 2026 года планируется взять кредит на пять лет в размере 1050 тыс. рублей. Условия его возврата таковы:

— каждый январь долг возрастает на 10% по сравнению с концом предыдущего года;

— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга;

— в июле 2027, 2028 и 2029 годов долг остаётся равным 1050 тыс. рублей;

— выплаты в 2030 и 2031 годах равны;

— к июлю 2031 года долг будет выплачен полностью.

На сколько рублей последняя выплата будет больше первой?

Решите неравенство ${\displaystyle \frac{x^2+4x-5}{{\log }_3\left(\mathrm{0,2}\cdot 5^x\right)}\ge 0.}$ 

15-го декабря планируется взять кредит в банке на сумму 600 тысяч рублей
на ${\displaystyle \left(n+1\right)}$ месяц. Условия его возврата таковы:

${\displaystyle —}$ 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 3% по сравнению с концом предыдущего месяца;

${\displaystyle —}$ со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

${\displaystyle —}$ 15-го числа каждого месяца с 1-го по ${\displaystyle n}$ -й долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца;

${\displaystyle —}$ 15-го числа ${\displaystyle n}$ -го месяца долг составит 200 тысяч рублей;

${\displaystyle —}$ к 15-му числу ${\displaystyle \left(n+1\right)}$ -го месяца кредит должен быть полностью погашен.

Найдите ${\displaystyle n}$, если известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита составит 852 тысячи рублей.

а) Решите уравнение

$2{\sin }^2\text{}\left(\frac{3\text{π}}{2}+x\right)+\cos \left(\text{π}-x\right)=0$.

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[-2\text{π};-\frac{\text{π}}{2}\right]$.

Решите неравенство $3^{{\log }_3\left(2^x-2\right)}+4^x-18\le 0.$