Задание 92FD74: Уравнения

Обозначим подлогарифмическое выражение через A(x):
A(x)=3^2x+5√2sin x−6cos²x−2.

Из log₉(A(x))=x следует A(x)=9^x=3^2x. Следовательно,
3^2x+5√2sin x−6cos²x−2=3^2x,
5√2sin x−6cos²x−2=0.

Используем cos²x=1−sin²x:
6sin²x+5√2sin x−8=0.

Положим t=sin x. Тогда
6t²+5√2t−8=0,
t=√22 или t=−4√23.

Второе значение не принадлежит отрезку [−1;1]. Поэтому sin x=√22.

а) Общее решение:
x=π4+2πn; x=3π4+2πn, n∈ℤ.

б) На графиках y=sin x и y=√22 на отрезке [−2π;−π2] видны две точки пересечения:
x=−7π4; −5π4.

Для обеих этих точек подлогарифмическое выражение
3^2x+5√2sin x−6cos²x−2
равно 3^2x=9^x>0, так как выражение 5√2sin x−6cos²x−2 равно нулю. Поэтому условие области определения выполнено.

Ответ пункта б): −7π4; −5π4.