Задание 656233 по неравенствам

Допустимые значения выводим так: аргумент log₂(x+7) положителен, поэтому x>−7.

Допустимые значения: x>−7. Поскольку log₅₁₂(x+7)=19log₂(x+7), неравенство равносильно (x²−18)log₂(x+7)≤0.

Вычисления: Так как log₅₁₂(x+7)=19log₂(x+7), после умножения на 9 остаётся (x²−18)log₂(x+7)≤0. Разложение x²−18=(x−3√2)(x+3√2) задаёт нули первого множителя.

Все умножения, сокращения и сравнения аргументов выполняем только с положительными выражениями из допустимых значений. Поэтому направление исходного неравенства при переходе к полученной алгебраической записи не меняется.

В таблице знаков отмечаем все нули числителя и точки, в которых выражение не определено. На каждом получившемся промежутке знак постоянен, поэтому достаточно определить знак одного множителя или контрольной точки. Нули числителя включаем при нестрогом знаке, а нули знаменателя всегда исключаем.

Логарифм отрицателен на (−7; −6), а положителен при x>−6. Таблица знаков даёт ответ.

Ответ: (−7; −6] ∪ [−3√2; 3√2].