Тела и поверхности вращения — задания ЕГЭ по профильной математике

В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания.
На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle B}$ и ${\displaystyle C}$,
а на окружности другого основания ${\displaystyle —}$ точка ${\displaystyle C_1}$, причём ${\displaystyle C{C}_1}$ ${\displaystyle —}$ образующая цилиндра, а ${\displaystyle AC}$ ${\displaystyle —}$ диаметр основания. Известно, что ${\displaystyle \angle ACB=45°}$, ${\displaystyle AB=2\sqrt{3}}$, ${\displaystyle C{C}_1=2\sqrt{6}}$.

а) Докажите, что угол между прямыми ${\displaystyle A{C}_1}$ и ${\displaystyle BC}$ равен ${\displaystyle 60°}$.

б) Найдите расстояние от точки ${\displaystyle B}$ до прямой ${\displaystyle A{C}_1}$.

Различные точки $A,$ $B$ и $C$ лежат на окружности основания конуса
с вершиной $S$ так, что отрезок $AB$ является её диаметром. Угол между образующей конуса и плоскостью основания равен $60°\text{}.$

а) Докажите, что $\cos \angle ASC+\cos \angle BSC=\mathrm{1,5.}$

б) Найдите объём тетраэдра $SABC,$ если $SC=\mathrm{1,}$ $\cos \angle ASC=\frac{2}{3}.$

В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания.
На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$,
а на окружности другого основания ${\displaystyle —}$ точки ${\displaystyle B_1}$ и ${\displaystyle C_1}$, причём ${\displaystyle B{B}_1}$ ${\displaystyle —}$ образующая цилиндра, а отрезок ${\displaystyle A{C}_1}$ пересекает ось цилиндра.

а) Докажите, что угол ${\displaystyle AB{C}_1}$ прямой.

б) Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, если ${\displaystyle AB=20}$, ${\displaystyle B{B}_1=15}$, ${\displaystyle B_1{C}_1=21}$.

В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания.
На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$,
а на окружности другого основания ${\displaystyle —}$ точки ${\displaystyle B_1}$ и ${\displaystyle C_1}$, причём ${\displaystyle B{B}_1}$ ${\displaystyle —}$ образующая цилиндра, а отрезок ${\displaystyle A{C}_1}$ пересекает ось цилиндра.

а) Докажите, что угол ${\displaystyle AB{C}_1}$ прямой.

б) Найдите объём цилиндра, если ${\displaystyle AB=7}$, ${\displaystyle B{B}_1=24}$, ${\displaystyle B_1{C}_1=10}$.

В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания.
На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle B}$ и ${\displaystyle C}$,
а на окружности другого основания ${\displaystyle —}$ точка ${\displaystyle C_1}$, причём ${\displaystyle C{C}_1}$ ${\displaystyle —}$ образующая цилиндра, а ${\displaystyle AC}$ ${\displaystyle —}$ диаметр основания. Известно, что ${\displaystyle \angle ACB=30°}$, ${\displaystyle AB=\sqrt{2}}$, ${\displaystyle C{C}_1=2}$.

а) Докажите, что угол между прямыми ${\displaystyle A{C}_1}$ и ${\displaystyle BC}$ равен ${\displaystyle 45°}$.

б) Найдите объём цилиндра.

В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания.
На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle B}$ и ${\displaystyle C}$,
а на окружности другого основания ${\displaystyle —}$ точка ${\displaystyle C_1}$, причём ${\displaystyle C{C}_1}$ ${\displaystyle —}$ образующая цилиндра, а ${\displaystyle AC}$ ${\displaystyle —}$ диаметр основания. Известно, что ${\displaystyle \angle ACB=30°}$, ${\displaystyle AB=1}$, ${\displaystyle C{C}_1=2\sqrt{2}}$.

а) Докажите, что угол между прямыми ${\displaystyle A{C}_1}$ и ${\displaystyle BC}$ равен ${\displaystyle 60°}$.

б) Найдите площадь боковой поверхности цилиндра.

В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания.
На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$,
а на окружности другого основания ${\displaystyle —}$ точки ${\displaystyle B_1}$ и ${\displaystyle C_1}$, причём ${\displaystyle B{B}_1}$ ${\displaystyle —}$ образующая цилиндра, а отрезок ${\displaystyle A{C}_1}$ пересекает ось цилиндра.

а) Докажите, что угол ${\displaystyle AB{C}_1}$ прямой.

б) Найдите угол между прямыми ${\displaystyle B{B}_1}$ и ${\displaystyle A{C}_1}$, если ${\displaystyle AB=6}$, ${\displaystyle B{B}_1=15}$, ${\displaystyle B_1{C}_1=8}$.

В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания.
На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$,
а на окружности другого основания ${\displaystyle —}$ точки ${\displaystyle B_1}$ и ${\displaystyle C_1}$, причём ${\displaystyle B{B}_1}$ ${\displaystyle —}$ образующая цилиндра, а отрезок ${\displaystyle A{C}_1}$ пересекает ось цилиндра.

а) Докажите, что угол ${\displaystyle AB{C}_1}$ прямой.

б) Найдите расстояние от точки ${\displaystyle B}$ до прямой ${\displaystyle A{C}_1}$, если ${\displaystyle AB=21}$, ${\displaystyle B{B}_1=12}$, ${\displaystyle B_1{C}_1=16}$.