Прямые и плоскости в пространстве — задания ЕГЭ по профильной математике

В основании правильной треугольной пирамиды ${\displaystyle ABCD}$ лежит треугольник ${\displaystyle ABC}$ со стороной, равной 6. Боковое ребро пирамиды равно 5. На ребре AD отмечена точка ${\displaystyle T}$ так, что ${\displaystyle AT:TD=2:1}$. Через точку Т  параллельно прямым ${\displaystyle AC}$ и ${\displaystyle BD}$ проведена плоскость.

а) Докажите, что сечение пирамиды указанной плоскостью является прямоугольником.

б) Найдите площадь сечения.

В основании правильной треугольной пирамиды ${\displaystyle ABCD}$ лежит треугольник ${\displaystyle ABC}$ со стороной, равной 5. Боковое ребро пирамиды равно 9. На ребре AD отмечена точка ${\displaystyle T}$ так, что ${\displaystyle AT:TD=1:2}$. Через точку Т  параллельно прямым ${\displaystyle AC}$ и ${\displaystyle BD}$ проведена плоскость.

а) Докажите, что сечение пирамиды указанной плоскостью является прямоугольником.

б) Найдите площадь сечения.

В основании прямой треугольной призмы ${\displaystyle ABC{A}_1{B}_1{C}_1}$ лежит равнобедренный ( ${\displaystyle AB=BC}$ ) треугольник ${\displaystyle ABC}$. Точка ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle —}$ середина ребра ${\displaystyle A_1{B}_1}$, а точка ${\displaystyle M}$ делит ребро ${\displaystyle AC}$ в отношении ${\displaystyle AM:MC=1:3}$.

а) Докажите, что  ${\displaystyle KM\perp AC}$.

б) Найдите угол между прямой ${\displaystyle KM}$ и плоскостью ${\displaystyle AB{B}_1}$, если ${\displaystyle AB=6}$, ${\displaystyle AC=8}$ и ${\displaystyle A{A}_1=3}$.

На ребре ${\displaystyle A{A}_1}$ прямоугольного параллелепипеда ${\displaystyle ABCD{A}_1{B}_1{C}_1{D}_1}$ взята точка E так, что ${\displaystyle A_{1}E:EA=1:2}$, на ребре ${\displaystyle B{B}_1}$ ${\displaystyle —}$ точка ${\displaystyle F}$ так, что ${\displaystyle B_{1}F:FB=1:5}$, а точка Т ${\displaystyle —}$ середина ребра ${\displaystyle B_1{C}_1}$. Известно, что ${\displaystyle AB=2}$, ${\displaystyle AD=6}$, ${\displaystyle A{A}_1=6}$.

а) Докажите, что плоскость ${\displaystyle EFT}$ проходит через вершину ${\displaystyle D_1}$.

б) Найдите угол между плоскостью ${\displaystyle EFT}$ и плоскостью ${\displaystyle A{A}_1{B}_1}$.

В основании пирамиды ${\displaystyle SABCD}$ лежит прямоугольник ${\displaystyle ABCD}$ со стороной ${\displaystyle AB=5}$ и диагональю ${\displaystyle BD=9}$. Все боковые рёбра пирамиды равны 5.
На диагонали ${\displaystyle BD}$ основания ${\displaystyle ABCD}$ отмечена точка ${\displaystyle E}$, а на ребре ${\displaystyle AS}$ ${\displaystyle —}$ точка ${\displaystyle F}$ так, что ${\displaystyle SF=BE=4}$.

а) Докажите, что плоскость ${\displaystyle CEF}$ параллельна ребру ${\displaystyle SB}$.

б) Плоскость ${\displaystyle CEF}$ пересекает ребро ${\displaystyle SD}$ в точке ${\displaystyle Q}$. Найдите расстояние от точки ${\displaystyle Q}$ до плоскости ${\displaystyle ABC}$.

В правильной четырёхугольной пирамиде  сторона основания  равна 8, а боковое ребро  равно 7. На рёбрах  и  отмечены точки  и  соответственно, причём , .

а) Докажите, что плоскость  перпендикулярна плоскости .

б) Найдите объём пирамиды .

В правильной четырёхугольной пирамиде $SABCD$ с основанием $ABCD$ точка $O$ $—$ центр основания пирамиды, точка $M$ $—$ середина ребра $SC,$ точка $K$ делит ребро $BC$ в отношении $BK:KC=3:\mathrm{1,}$ а $AB=2$ и $SO=\sqrt{14}.$

а) Докажите, что плоскость $OMK$ параллельна прямой $SA.$

б) Найдите длину отрезка, по которому плоскость $OMK$ пересекает грань $SAD.$

В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания.
На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle B}$ и ${\displaystyle C}$,
а на окружности другого основания ${\displaystyle —}$ точка ${\displaystyle C_1}$, причём ${\displaystyle C{C}_1}$ ${\displaystyle —}$ образующая цилиндра, а ${\displaystyle AC}$ ${\displaystyle —}$ диаметр основания. Известно, что ${\displaystyle \angle ACB=45°}$, ${\displaystyle AB=2\sqrt{3}}$, ${\displaystyle C{C}_1=2\sqrt{6}}$.

а) Докажите, что угол между прямыми ${\displaystyle A{C}_1}$ и ${\displaystyle BC}$ равен ${\displaystyle 60°}$.

б) Найдите расстояние от точки ${\displaystyle B}$ до прямой ${\displaystyle A{C}_1}$.

Сечением прямоугольного параллелепипеда ${\displaystyle ABCD{A}_1{B}_1{C}_1{D}_1}$ плоскостью ${\displaystyle \text{α}}$, содержащей прямую ${\displaystyle B{D}_1}$ и параллельной прямой ${\displaystyle AC}$, является ромб.

а) Докажите, что грань ${\displaystyle ABCD}$ ${\displaystyle —}$ квадрат.

б) Найдите угол между плоскостями ${\displaystyle \text{α}}$ и ${\displaystyle BC{C}_1}$, если ${\displaystyle A{A}_1=10}$, ${\displaystyle AB=12}$.

В правильной шестиугольной пирамиде  сторона основания  равна 2, а боковое ребро  равно 8. Точка  — середина ребра . Плоскость  перпендикулярна плоскости  и содержит точки  и . Прямая  пересекает плоскость  в точке .

а) Докажите, что .

б) Найдите объём пирамиды .

В правильной треугольной призме $ABC{A}_1{B}_1{C}_1$ все рёбра равны 4. Точка K $—$ середина ребра $A_1{B}_1.$

а) Докажите, что сечение призмы плоскостью $AKC$ является равнобедренной трапецией.

б) Найдите расстояние от точки B до плоскости $AKC.$

В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания.
На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$,
а на окружности другого основания ${\displaystyle —}$ точки ${\displaystyle B_1}$ и ${\displaystyle C_1}$, причём ${\displaystyle B{B}_1}$ ${\displaystyle —}$ образующая цилиндра, а отрезок ${\displaystyle A{C}_1}$ пересекает ось цилиндра.

а) Докажите, что угол ${\displaystyle AB{C}_1}$ прямой.

б) Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, если ${\displaystyle AB=20}$, ${\displaystyle B{B}_1=15}$, ${\displaystyle B_1{C}_1=21}$.

В правильной шестиугольной пирамиде  сторона основания  равна 5, а боковое ребро  равно 9. Точка  лежит на ребре , ,
а точка  лежит на ребре . Известно, что .

а) Докажите, что плоскость  перпендикулярна плоскости .

б) Найдите площадь треугольника .

В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания.
На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$,
а на окружности другого основания ${\displaystyle —}$ точки ${\displaystyle B_1}$ и ${\displaystyle C_1}$, причём ${\displaystyle B{B}_1}$ ${\displaystyle —}$ образующая цилиндра, а отрезок ${\displaystyle A{C}_1}$ пересекает ось цилиндра.

а) Докажите, что угол ${\displaystyle AB{C}_1}$ прямой.

б) Найдите объём цилиндра, если ${\displaystyle AB=7}$, ${\displaystyle B{B}_1=24}$, ${\displaystyle B_1{C}_1=10}$.

В правильной четырёхугольной пирамиде  сторона основания  равна 8, а боковое ребро  равно 7. На рёбрах  и  отмечены точки  и  соответственно, причём , . Плоскость  перпендикулярна плоскости  и содержит точки  и .

а) Докажите, что плоскость  содержит точку .

б) Найдите площадь сечения пирамиды  плоскостью .

В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания.
На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle B}$ и ${\displaystyle C}$,
а на окружности другого основания ${\displaystyle —}$ точка ${\displaystyle C_1}$, причём ${\displaystyle C{C}_1}$ ${\displaystyle —}$ образующая цилиндра, а ${\displaystyle AC}$ ${\displaystyle —}$ диаметр основания. Известно, что ${\displaystyle \angle ACB=30°}$, ${\displaystyle AB=\sqrt{2}}$, ${\displaystyle C{C}_1=2}$.

а) Докажите, что угол между прямыми ${\displaystyle A{C}_1}$ и ${\displaystyle BC}$ равен ${\displaystyle 45°}$.

б) Найдите объём цилиндра.

В правильной треугольной пирамиде  сторона основания  равна 6,
а боковое ребро  равно . На рёбрах  и  отмечены точки  и  соответственно, причём , .

а) Докажите, что плоскость  перпендикулярна плоскости .

б) Найдите объём пирамиды .

Дана правильная четырёхугольная призма $ABCD{A}_1{B}_1{C}_1{D}_1.$ Плоскость $\alpha$ проходит через вершины $B_1$ и $D$ и пересекает рёбра $A{A}_1$ и $C{C}_1$ в точках $M$ и $K$ соответственно. Известно, что четырёхугольник $M{B}_{1}KD$ $—$ ромб.

а) Докажите, что точка $M$ $—$ середина ребра $A{A}_1.$

б) Найдите высоту призмы $ABCD{A}_1{B}_1{C}_1{D}_1,$ если площадь её основания $ABCD$ равна 3, а площадь ромба $M{B}_{1}KD$ равна 6.

В пирамиде ${\displaystyle ABCD}$ рёбра ${\displaystyle DA}$, ${\displaystyle DB}$ и ${\displaystyle DC}$ попарно перпендикулярны, а ${\displaystyle AB=BC=AC=6\sqrt{2}}$.

а) Докажите, что эта пирамида правильная.

б) На рёбрах ${\displaystyle DA}$ и ${\displaystyle DC}$ отмечены точки ${\displaystyle M}$ и ${\displaystyle N}$ соответственно, причём ${\displaystyle DM:MA=DN:NC=1:2}$. Найдите расстояние от точки ${\displaystyle D}$ до плоскости ${\displaystyle MNB}$.

В основании прямой призмы $ABCD{A}_1{B}_1{C}_1{D}_1$ лежит равнобедренная трапеция $ABCD$ с основаниями $AD=3$ и $BC=2.$ Точка $M$ делит
ребро $A_1{D}_1$ в отношении $A_{1}M:M{D}_1=1:\mathrm{2,}$ а точка $K$ $—$ середина ребра $D{D}_1.$

а) Докажите, что плоскость $MKC$ параллельна прямой $BD.$

б) Найдите тангенс угла между плоскостью $MKC$ и плоскостью основания призмы, если $\angle MKC=90°,$ $\angle ADC=60°.$

В правильном тетраэдре $ABCD$ точки $M$ и $N$ $—$ середины рёбер $AB$ и $CD$ соответственно. Плоскость $\alpha$ перпендикулярна прямой $MN$ и пересекает ребро $BC$ в точке $K.$ 

а) Докажите, что прямая $MN$ перпендикулярна рёбрам $AB$ и $CD.$

б) Найдите площадь сечения тетраэдра $ABCD$ плоскостью $\alpha ,$ если известно, что $BK=\mathrm{1,}$ $KC=3.$

В правильной четырёхугольной пирамиде ${\displaystyle SABCD}$ сторона основания ${\displaystyle AB}$ равна 6, а боковое ребро ${\displaystyle SA}$ равно 7. На рёбрах ${\displaystyle CD}$ и ${\displaystyle SC}$ отмечены
точки ${\displaystyle N}$ и ${\displaystyle K}$ соответственно, причём ${\displaystyle DN:NC=SK:KC=1:2}$. Плоскость ${\displaystyle \text{α}}$ содержит прямую ${\displaystyle KN}$ и параллельна прямой ${\displaystyle BC}$.

а) Докажите, что плоскость ${\displaystyle \text{α}}$ параллельна прямой ${\displaystyle SA}$.

б) Найдите угол между плоскостями ${\displaystyle \text{α}}$ и ${\displaystyle SBC}$.

Основанием четырёхугольной пирамиды ${\displaystyle SABCD}$ является прямоугольник ${\displaystyle ABCD}$, причём ${\displaystyle AB=2\sqrt{2}}$, ${\displaystyle BC=4}$. Основанием высоты пирамиды является центр прямоугольника. Из вершин ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle C}$ опущены перпендикуляры ${\displaystyle AP }$ и ${\displaystyle CQ}$ на ребро ${\displaystyle SB}$.

а) Докажите, что ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle —}$ середина отрезка ${\displaystyle BQ}$.

б) Найдите угол между гранями ${\displaystyle SBA}$ и ${\displaystyle SBC}$, если ${\displaystyle SD=4}$.

В прямоугольном параллелепипеде ${\displaystyle ABCD{A}_1{B}_1{C}_1{D}_1}$ известны длины рёбер: ${\displaystyle AB=6\sqrt{2}}$, ${\displaystyle AD=10}$, ${\displaystyle A{A}_1=16}$. На рёбрах ${\displaystyle A{A}_1}$ и ${\displaystyle B{B}_1}$ отмечены точки ${\displaystyle E}$ и ${\displaystyle F}$ соответственно, причём ${\displaystyle A_{1}E:EA=5:3}$ и ${\displaystyle B_{1}F:FB=5:11}$. Точка ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle —}$ середина ребра ${\displaystyle B_1{C}_1}$.

а) Докажите, что плоскость ${\displaystyle EFT}$ проходит через точку ${\displaystyle D_1}$.

б) Найдите площадь сечения параллелепипеда плоскостью ${\displaystyle EFT}$.

Все рёбра правильной четырёхугольной пирамиды ${\displaystyle SABCD}$ с основанием ${\displaystyle ABCD}$ равны 4. Точка ${\displaystyle O}$ — центр основания пирамиды. Плоскость, параллельная прямой ${\displaystyle SA}$ и проходящая через точку ${\displaystyle O,}$ пересекает рёбра ${\displaystyle SC}$ и ${\displaystyle SD}$ в точках ${\displaystyle M}$ и ${\displaystyle N}$ соответственно. Точка ${\displaystyle N}$ делит ребро ${\displaystyle SD}$ в отношении ${\displaystyle SN:ND=1:3.}$ 

а) Докажите, что точка ${\displaystyle M}$ — середина ребра ${\displaystyle SC.}$ 

б) Найдите длину отрезка, по которому плоскость ${\displaystyle OMN}$ пересекает грань ${\displaystyle SBC.}$ 

В правильной четырёхугольной пирамиде ${\displaystyle SABCD}$ сторона основания ${\displaystyle AB}$ равна 4, а боковое ребро ${\displaystyle SA}$ равно 7. На рёбрах ${\displaystyle CD}$ и ${\displaystyle SC}$ отмечены
точки ${\displaystyle N}$ и ${\displaystyle K}$ соответственно, причём ${\displaystyle DN:NC=SK:KC=1:3}$. Плоскость ${\displaystyle \text{α}}$ содержит прямую ${\displaystyle KN}$ и параллельна прямой ${\displaystyle BC}$.

а) Докажите, что плоскость ${\displaystyle \text{α}}$ параллельна прямой ${\displaystyle SA}$.

б) Найдите угол между плоскостями ${\displaystyle \text{α}}$ и ${\displaystyle SBC}$.

В пирамиде ${\displaystyle ABCD}$ рёбра ${\displaystyle DA}$, ${\displaystyle DB}$ и ${\displaystyle DC}$ попарно перпендикулярны,
а ${\displaystyle AB=BC=AC=5\sqrt{2}}$.

а) Докажите, что эта пирамида правильная.

б) На рёбрах ${\displaystyle DA}$ и ${\displaystyle DC}$ отмечены точки ${\displaystyle M}$ и ${\displaystyle N}$ соответственно, причём ${\displaystyle DM:MA=DN:NC=2:3}$. Найдите площадь сечения ${\displaystyle MNB}$.

В правильной треугольной призме  сторона  основания равна 6,
а боковое ребро  равно 4. На рёбрах  и  отмечены точки  и  соответственно, причём .

а) Точки  и  — центры окружностей, описанных около треугольников  и  соответственно. Докажите, что прямая  содержит точку пересечения медиан треугольника .

б) Найдите расстояние от точки  до плоскости .

В прямоугольном параллелепипеде $ABCD{A}_1{B}_1{C}_1{D}_1$ через середину $M$ диагонали $A{C}_1$ проведена плоскость $\text{α}$ перпендикулярно этой диагонали, $AB=\mathrm{5,}$ $BC=\mathrm{3,}$ $A{A}_1=4.$

а) Докажите, что плоскость $\text{α}$ содержит точку $D_1.$

б) Найдите отношение, в котором плоскость $\text{α}$ делит ребро $A_1{B}_1.$

В прямоугольном параллелепипеде ${\displaystyle ABCD{A}_1{B}_1{C}_1{D}_1}$ известны длины рёбер: ${\displaystyle AB=2\sqrt{2}}$, ${\displaystyle AD=6}$, ${\displaystyle A{A}_1=10}$. На рёбрах ${\displaystyle A{A}_1}$ и ${\displaystyle B{B}_1}$ отмечены точки ${\displaystyle E}$ и ${\displaystyle F}$ соответственно, причём ${\displaystyle A_{1}E:EA=3:2}$ и ${\displaystyle B_{1}F:FB=3:7}$. Точка ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle —}$ середина ребра ${\displaystyle B_1{C}_1}$.

а) Докажите, что плоскость ${\displaystyle EFT}$ проходит через точку ${\displaystyle D_1}$.

б) Найдите площадь сечения параллелепипеда плоскостью ${\displaystyle EFT}$.

В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания.
На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle B}$ и ${\displaystyle C}$,
а на окружности другого основания ${\displaystyle —}$ точка ${\displaystyle C_1}$, причём ${\displaystyle C{C}_1}$ ${\displaystyle —}$ образующая цилиндра, а ${\displaystyle AC}$ ${\displaystyle —}$ диаметр основания. Известно, что ${\displaystyle \angle ACB=30°}$, ${\displaystyle AB=1}$, ${\displaystyle C{C}_1=2\sqrt{2}}$.

а) Докажите, что угол между прямыми ${\displaystyle A{C}_1}$ и ${\displaystyle BC}$ равен ${\displaystyle 60°}$.

б) Найдите площадь боковой поверхности цилиндра.

В основании прямой призмы $ABC{A}_1{B}_1{C}_1$ лежит равнобедренный
треугольник $ABC$ с основанием $AB.$ Точка $P$ делит ребро $AB$ 
в отношении $AP:PB=1:\mathrm{3,}$ а точка $Q$ $—$ середина ребра $A_1{C}_1.$ 
Через середину $M$ ребра $BC$ провели плоскость $\alpha ,$ перпендикулярную отрезку $PQ.$

а) Докажите, что плоскость $\alpha$ параллельна ребру $AB.$

б) Найдите отношение, в котором плоскость $\alpha$ делит отрезок $PQ,$ считая от точки $P,$ если известно, что $AB=A{A}_1,$ $AB:BC=2:5.$

В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания.
На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$,
а на окружности другого основания ${\displaystyle —}$ точки ${\displaystyle B_1}$ и ${\displaystyle C_1}$, причём ${\displaystyle B{B}_1}$ ${\displaystyle —}$ образующая цилиндра, а отрезок ${\displaystyle A{C}_1}$ пересекает ось цилиндра.

а) Докажите, что угол ${\displaystyle AB{C}_1}$ прямой.

б) Найдите угол между прямыми ${\displaystyle B{B}_1}$ и ${\displaystyle A{C}_1}$, если ${\displaystyle AB=6}$, ${\displaystyle B{B}_1=15}$, ${\displaystyle B_1{C}_1=8}$.

Основанием четырёхугольной пирамиды ${\displaystyle PABCD}$ является трапеция ${\displaystyle ABCD}$, причём ${\displaystyle \angle BAD+\angle ADC=90°}$. Плоскости ${\displaystyle PAB}$ и ${\displaystyle PCD}$ перпендикулярны плоскости основания, ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle —}$ точка пересечения прямых ${\displaystyle AB}$ и ${\displaystyle CD}$.

а) Докажите, что плоскости ${\displaystyle PAB}$ и ${\displaystyle PCD}$ перпендикулярны.

б) Найдите объём пирамиды ${\displaystyle KBCP}$, если ${\displaystyle AB=BC=CD=4}$, а высота пирамиды ${\displaystyle PABCD}$ равна 9.

В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания.
На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$,
а на окружности другого основания ${\displaystyle —}$ точки ${\displaystyle B_1}$ и ${\displaystyle C_1}$, причём ${\displaystyle B{B}_1}$ ${\displaystyle —}$ образующая цилиндра, а отрезок ${\displaystyle A{C}_1}$ пересекает ось цилиндра.

а) Докажите, что угол ${\displaystyle AB{C}_1}$ прямой.

б) Найдите расстояние от точки ${\displaystyle B}$ до прямой ${\displaystyle A{C}_1}$, если ${\displaystyle AB=21}$, ${\displaystyle B{B}_1=12}$, ${\displaystyle B_1{C}_1=16}$.

Точка $M$ $—$ середина ребра $SA$ правильной четырёхугольной
пирамиды $SABCD$ с основанием $ABCD.$ Точка $N$ лежит на ребре $SB,$ $SN:NB=1:2.$

а) Докажите, что плоскость $CMN$ параллельна прямой $SD.$

б) Найдите площадь сечения пирамиды $SABCD$ плоскостью $CMN,$ если все рёбра пирамиды равны 6.

На рёбрах ${\displaystyle AB}$ и ${\displaystyle BC}$ треугольной пирамиды ${\displaystyle ABCD}$ отмечены точки ${\displaystyle M}$ и ${\displaystyle N}$ соответственно, причём ${\displaystyle AM:MB=CN:NB=1:2}$. Точки ${\displaystyle P}$ и ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle —}$ середины рёбер ${\displaystyle DA}$ и ${\displaystyle DC}$ соответственно.

а) Докажите, что точки ${\displaystyle P}$, ${\displaystyle Q}$, ${\displaystyle M}$ и ${\displaystyle N}$ лежат в одной плоскости.

б) Найдите отношение объёмов многогранников, на которые плоскость ${\displaystyle PQM}$ разбивает пирамиду.

В кубе $ABCD{A}_1{B}_1{C}_1{D}_1$ точки $M$ и $N$ $—$ середины рёбер $AB$ и $AD$ соответственно.

а) Докажите, что прямые $B_{1}N$ и $CM$ перпендикулярны.

б) Плоскость $\text{α}$ проходит через точки $N$ и $B_1$ параллельно прямой $CM.$ Найдите расстояние от точки $C$ до плоскости $\text{α}\text{,}$ если $B_{1}N=6.$

На ребре ${\displaystyle SD}$ правильной четырёхугольной пирамиды ${\displaystyle SABCD}$ 
с основанием ${\displaystyle ABCD}$ отмечена точка ${\displaystyle M}$, причём ${\displaystyle SM:MD=2:1}$.
Точки ${\displaystyle P}$ и ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle —}$ середины рёбер ${\displaystyle BC}$ и ${\displaystyle AD}$ соответственно.

а) Докажите, что сечение пирамиды плоскостью ${\displaystyle MPQ}$ является равнобедренной трапецией.

б) Найдите отношение объёмов многогранников, на которые плоскость ${\displaystyle MPQ}$ разбивает пирамиду.

Сечением прямоугольного параллелепипеда ${\displaystyle ABCD{A}_1{B}_1{C}_1{D}_1}$ плоскостью ${\displaystyle \text{α}}$, содержащей прямую ${\displaystyle B{D}_1}$ и параллельной прямой ${\displaystyle AC}$, является ромб.

а) Докажите, что грань ${\displaystyle ABCD}$ ${\displaystyle —}$ квадрат.

б) Найдите угол между плоскостями ${\displaystyle \text{α}}$ и ${\displaystyle BC{C}_1}$, если ${\displaystyle A{A}_1=6}$, ${\displaystyle AB=4}$.

В правильной треугольной пирамиде ${\displaystyle SABC}$ с основанием ${\displaystyle ABC}$ точки ${\displaystyle M}$ и ${\displaystyle K}$ — середины рёбер ${\displaystyle AB}$ и ${\displaystyle SC}$ соответственно, а точки ${\displaystyle N}$ и ${\displaystyle L}$ отмечены на рёбрах ${\displaystyle SA}$ и ${\displaystyle BC}$ соответственно так, что отрезки ${\displaystyle MK}$ и ${\displaystyle NL}$ пересекаются, а ${\displaystyle AN=3NS.}$ 

а) Докажите, что прямые ${\displaystyle MN,}$ ${\displaystyle KL}$ и ${\displaystyle SB}$ пересекаются в одной точке.

б) Найдите отношение ${\displaystyle BL:LC.}$ 

В правильной треугольной пирамиде ${\displaystyle SABC}$ с основанием ${\displaystyle ABC}$ точки ${\displaystyle M}$ и ${\displaystyle K}$ — середины рёбер ${\displaystyle AB}$ и ${\displaystyle SC}$ соответственно. На продолжении ребра ${\displaystyle SB}$ за точку ${\displaystyle S}$ отмечена точка ${\displaystyle R.}$ Прямые ${\displaystyle RM}$ и ${\displaystyle RK}$ пересекают рёбра ${\displaystyle AS}$ и ${\displaystyle BC}$ в точках ${\displaystyle N}$ и ${\displaystyle L}$ соответственно, причём ${\displaystyle BL=3LC.}$ 

а) Докажите, что отрезки ${\displaystyle MK}$ и ${\displaystyle NL}$ пересекаются.

б) Найдите отношение ${\displaystyle AN:NS.}$