Задание 93D58F по неравенствам

Допустимые значения выводим так: (x−1)³>0 требует x>1; при этом x²−1>0, поэтому пересечение условий также x>1.

Допустимые значения: x>1. Приведём все логарифмы к основанию 2 и возведём в степень 3. Получаем (x−1)³≥(x²−1)³2¹⁵.

Вычисления: При x>1: log₈((x−1)³)=13log₂((x−1)³). Умножаем неравенство на 3 и возводим в степень 2: (x−1)³≥(x²−1)³2¹⁵. Делим на положительное (x−1)³ и получаем (x+1)³≤2¹⁵.

Метод рационализации — разность логарифмов: при A>0, B>0, a>0 и a≠1 выполняется (logₐA−logₐB)(A−B)(a−1)≥0. Поэтому при a>1 знак разности логарифмов совпадает со знаком A−B, а при 0<a<1 — противоположен ему. После приведения к основанию 2 сравниваем log₂(x−1) и log₂(x²−132). Аргументы положительны, поэтому рационализация при основании 2>1 даёт x−1≥x²−132.

Все умножения, сокращения и сравнения аргументов выполняем только с положительными выражениями из допустимых значений. Поэтому направление исходного неравенства при переходе к полученной алгебраической записи не меняется.

В таблице знаков отмечаем все нули числителя и точки, в которых выражение не определено. На каждом получившемся промежутке знак постоянен, поэтому достаточно определить знак одного множителя или контрольной точки. Нули числителя включаем при нестрогом знаке, а нули знаменателя всегда исключаем.

На допустимых значениях можно сократить (x−1)³. Получаем (x+1)³≤2¹⁵, то есть x≤31.

Ответ: (1; 31].