Задание D5A8E6: Задачи с параметром

Второе уравнение xy+1=x+y равносильно (x−1)(y−1)=0. Рассмотрим две ветви: x=1 и y=1. Они пересекаются только в точке (1; 1).

При x=1 первое уравнение даёт ay²+(a+2)y+3a+1=0. При y=1 получаем ax²+2ax+2a+3=0. При a=0 первая ветвь содержит одну пару, вторая не содержит ни одной, поэтому четыре решения невозможны.

При a≠0 нужны два различных корня на каждой ветви. Для этого D₁=(a+2)²−4a(3a+1)=4−11a²>0 и D₂=4a²−4a(2a+3)=−4a(a+3)>0. Совместно получаем −2√1111<a<0.

Проверим общую точку прямых: подстановка x=y=1 в первое исходное уравнение даёт 5a+3=0. При a=−35 эта точка учитывалась в обеих ветвях; разных решений только три. Данное значение лежит внутри найденного интервала, поскольку 925<411.

Исключаем его. Для всех остальных a из интервала обе ветви имеют по два корня, и никакие пары между ветвями не совпадают. Строгие границы сохраняются, так как на них один из дискриминантов равен нулю.

Ответ: a∈(−2√1111; −35)∪(−35; 0).