Многогранники — задания ЕГЭ по профильной математике

В основании правильной треугольной пирамиды ${\displaystyle ABCD}$ лежит треугольник ${\displaystyle ABC}$ со стороной, равной 6. Боковое ребро пирамиды равно 5. На ребре AD отмечена точка ${\displaystyle T}$ так, что ${\displaystyle AT:TD=2:1}$. Через точку Т  параллельно прямым ${\displaystyle AC}$ и ${\displaystyle BD}$ проведена плоскость.

а) Докажите, что сечение пирамиды указанной плоскостью является прямоугольником.

б) Найдите площадь сечения.

В основании правильной треугольной пирамиды ${\displaystyle ABCD}$ лежит треугольник ${\displaystyle ABC}$ со стороной, равной 5. Боковое ребро пирамиды равно 9. На ребре AD отмечена точка ${\displaystyle T}$ так, что ${\displaystyle AT:TD=1:2}$. Через точку Т  параллельно прямым ${\displaystyle AC}$ и ${\displaystyle BD}$ проведена плоскость.

а) Докажите, что сечение пирамиды указанной плоскостью является прямоугольником.

б) Найдите площадь сечения.

В основании прямой треугольной призмы ${\displaystyle ABC{A}_1{B}_1{C}_1}$ лежит равнобедренный ( ${\displaystyle AB=BC}$ ) треугольник ${\displaystyle ABC}$. Точка ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle —}$ середина ребра ${\displaystyle A_1{B}_1}$, а точка ${\displaystyle M}$ делит ребро ${\displaystyle AC}$ в отношении ${\displaystyle AM:MC=1:3}$.

а) Докажите, что  ${\displaystyle KM\perp AC}$.

б) Найдите угол между прямой ${\displaystyle KM}$ и плоскостью ${\displaystyle AB{B}_1}$, если ${\displaystyle AB=6}$, ${\displaystyle AC=8}$ и ${\displaystyle A{A}_1=3}$.

На ребре ${\displaystyle A{A}_1}$ прямоугольного параллелепипеда ${\displaystyle ABCD{A}_1{B}_1{C}_1{D}_1}$ взята точка E так, что ${\displaystyle A_{1}E:EA=1:2}$, на ребре ${\displaystyle B{B}_1}$ ${\displaystyle —}$ точка ${\displaystyle F}$ так, что ${\displaystyle B_{1}F:FB=1:5}$, а точка Т ${\displaystyle —}$ середина ребра ${\displaystyle B_1{C}_1}$. Известно, что ${\displaystyle AB=2}$, ${\displaystyle AD=6}$, ${\displaystyle A{A}_1=6}$.

а) Докажите, что плоскость ${\displaystyle EFT}$ проходит через вершину ${\displaystyle D_1}$.

б) Найдите угол между плоскостью ${\displaystyle EFT}$ и плоскостью ${\displaystyle A{A}_1{B}_1}$.

В основании пирамиды ${\displaystyle SABCD}$ лежит прямоугольник ${\displaystyle ABCD}$ со стороной ${\displaystyle AB=5}$ и диагональю ${\displaystyle BD=9}$. Все боковые рёбра пирамиды равны 5.
На диагонали ${\displaystyle BD}$ основания ${\displaystyle ABCD}$ отмечена точка ${\displaystyle E}$, а на ребре ${\displaystyle AS}$ ${\displaystyle —}$ точка ${\displaystyle F}$ так, что ${\displaystyle SF=BE=4}$.

а) Докажите, что плоскость ${\displaystyle CEF}$ параллельна ребру ${\displaystyle SB}$.

б) Плоскость ${\displaystyle CEF}$ пересекает ребро ${\displaystyle SD}$ в точке ${\displaystyle Q}$. Найдите расстояние от точки ${\displaystyle Q}$ до плоскости ${\displaystyle ABC}$.

В правильной четырёхугольной пирамиде  сторона основания  равна 8, а боковое ребро  равно 7. На рёбрах  и  отмечены точки  и  соответственно, причём , .

а) Докажите, что плоскость  перпендикулярна плоскости .

б) Найдите объём пирамиды .

В правильной четырёхугольной пирамиде $SABCD$ с основанием $ABCD$ точка $O$ $—$ центр основания пирамиды, точка $M$ $—$ середина ребра $SC,$ точка $K$ делит ребро $BC$ в отношении $BK:KC=3:\mathrm{1,}$ а $AB=2$ и $SO=\sqrt{14}.$

а) Докажите, что плоскость $OMK$ параллельна прямой $SA.$

б) Найдите длину отрезка, по которому плоскость $OMK$ пересекает грань $SAD.$

В основании пирамиды $SABCD$ лежит трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ 
и $BC,$ равными 8 и 3 соответственно. Точки $M$ и $N$ лежат на рёбрах $SD$ 
и $BC$ соответственно, причём $SM:MD=3:\mathrm{2,}$ $BN:NC=1:2.$
Плоскость $AMN$ пересекает ребро $SC$ в точке $K.$

а) Докажите, что $SK:KC=6:1.$

б) Плоскость $AMN$ делит пирамиду $SABCD$ на два многогранника. Найдите отношение их объёмов.

Сечением прямоугольного параллелепипеда ${\displaystyle ABCD{A}_1{B}_1{C}_1{D}_1}$ плоскостью ${\displaystyle \text{α}}$, содержащей прямую ${\displaystyle B{D}_1}$ и параллельной прямой ${\displaystyle AC}$, является ромб.

а) Докажите, что грань ${\displaystyle ABCD}$ ${\displaystyle —}$ квадрат.

б) Найдите угол между плоскостями ${\displaystyle \text{α}}$ и ${\displaystyle BC{C}_1}$, если ${\displaystyle A{A}_1=10}$, ${\displaystyle AB=12}$.

На рёбрах $BC,$ $AB$ и $AD$ правильного тетраэдра $ABCD$ отмечены точки $L,$ $M$ и $N$ соответственно. Известно, что $BL:LC=AM:MB=AN:ND=1:2.$

а) Докажите, что плоскость $\text{α}\text{,}$ проходящая через точки $L,$ $M,$ $N,$ делит ребро $CD$ в отношении $2:\mathrm{1,}$ считая от вершины $C.$

б) Найдите площадь сечения тетраэдра $ABCD$ плоскостью $\text{α}\text{,}$ если $AB=6.$

В основании пирамиды $SABCD$ лежит трапеция $ABCD$ с бо$�$ьшим основанием $AD.$ Диагонали трапеции пересекаются в точке $O.$ Точки $M$ и $N$ $—$ середины боковых сторон $AB$ и $CD$ соответственно. Плоскость $\text{α}$ проходит через точки $M$ и $N$ параллельно прямой $SO.$

а) Докажите, что сечение пирамиды $SABCD$ плоскостью $\text{α}$ является трапецией.

б) Найдите площадь сечения пирамиды $SABCD$ плоскостью $\text{α}$, если $AD=\mathrm{10,}$ $BC=\mathrm{8,}$ $SO=\mathrm{8,}$ а прямая $SO$ перпендикулярна прямой $AD.$

В правильной шестиугольной пирамиде  сторона основания  равна 2, а боковое ребро  равно 8. Точка  — середина ребра . Плоскость  перпендикулярна плоскости  и содержит точки  и . Прямая  пересекает плоскость  в точке .

а) Докажите, что .

б) Найдите объём пирамиды .

В правильной треугольной призме $ABC{A}_1{B}_1{C}_1$ все рёбра равны 4. Точка K $—$ середина ребра $A_1{B}_1.$

а) Докажите, что сечение призмы плоскостью $AKC$ является равнобедренной трапецией.

б) Найдите расстояние от точки B до плоскости $AKC.$

В правильной шестиугольной пирамиде  сторона основания  равна 5, а боковое ребро  равно 9. Точка  лежит на ребре , ,
а точка  лежит на ребре . Известно, что .

а) Докажите, что плоскость  перпендикулярна плоскости .

б) Найдите площадь треугольника .

В правильной треугольной призме $ABC{A}_1{B}_1{C}_1$ известно, что $AB=2.$ Плоскость $\text{α}$ проходит через вершины $A_1$ и $B$ и середину $M$ ребра $C{C}_1.$

а) Докажите, что сечение призмы $ABC{A}_1{B}_1{C}_1$ плоскостью $\text{α}$ является равнобедренным треугольником.

б) Найдите высоту призмы, если площадь сечения плоскостью $\text{α}$ равна $6.$

В правильной шестиугольной пирамиде $SABCDEF$ точки $M$ и $K$ $—$ середины боковых рёбер $SA$ и $SD$ соответственно.

а) Докажите, что прямые $BM$ и $CK$ лежат в одной плоскости.

б) Найдите высоту пирамиды, если $AB=\mathrm{8,}$ а угол между плоскостью $BMC$ и плоскостью основания пирамиды равен $45°.$

В основании прямой призмы $ABCD{A}_1{B}_1{C}_1{D}_1$ лежит параллелограмм $ABCD$ 
с углом $60°$ при вершине $A.$ На рёбрах $A_1{B}_1,$ $B_1{C}_1$ и $BC$ отмечены
точки $M,$ $K$ и $N$ соответственно так, что четырёхугольник $AMKN$ $—$ равнобедренная трапеция с основаниями 1 и 2.

а) Докажите, что точка $M$ $—$ середина ребра $A_1{B}_1.$

б) Найдите высоту призмы, если её объём равен 5 и известно, что точка $K$ делит ребро $B_1{C}_1$ в отношении $B_{1}K:K{C}_1=2:3.$

В правильной четырёхугольной пирамиде  сторона основания  равна 8, а боковое ребро  равно 7. На рёбрах  и  отмечены точки  и  соответственно, причём , . Плоскость  перпендикулярна плоскости  и содержит точки  и .

а) Докажите, что плоскость  содержит точку .

б) Найдите площадь сечения пирамиды  плоскостью .

В правильной треугольной пирамиде $SABC$ сторона основания $AB$ равна 6,
а боковое ребро $SA$ равно $4\sqrt{3}.$ Точки $M$ и $N$ $—$ середины рёбер $SA$ и $SB$ соответственно. Плоскость $\text{α}$ содержит прямую $MN$ и перпендикулярна плоскости основания пирамиды.

а) Докажите, что плоскость $\text{α}$ делит медиану $CE$ основания в отношении $5:\mathrm{1,}$ считая от точки $C.$

б) Найдите периметр многоугольника, являющегося сечением пирамиды $SABC$ плоскостью $\text{α}\text{.}$

В правильной треугольной пирамиде  сторона основания  равна 6,
а боковое ребро  равно . На рёбрах  и  отмечены точки  и  соответственно, причём , .

а) Докажите, что плоскость  перпендикулярна плоскости .

б) Найдите объём пирамиды .

В правильной шестиугольной пирамиде $SABCDEF$ точки $M$ и $K$ $—$ середины боковых рёбер $SA$ и $SD$ соответственно.

а) Докажите, что прямые $BC$ и $MK$ параллельны.

б) Найдите объём пирамиды $MABF,$ если $AB=\mathrm{12,}$ а угол между плоскостью $BMC$ и плоскостью основания пирамиды $SABCDEF$ равен $30°.$

В правильной шестиугольной пирамиде $SABCDEF$ точки $M$ и $K$ $—$ середины боковых рёбер $SA$ и $SD$ соответственно.

а) Докажите, что прямые $BC$ и $MK$ параллельны.

б) Найдите объём пирамиды $MABF,$ если $AB=\mathrm{8,}$ а угол между плоскостью $BMC$ и плоскостью основания пирамиды $SABCDEF$ равен $45°.$

Дана правильная четырёхугольная призма $ABCD{A}_1{B}_1{C}_1{D}_1.$ Плоскость $\alpha$ проходит через вершины $B_1$ и $D$ и пересекает рёбра $A{A}_1$ и $C{C}_1$ в точках $M$ и $K$ соответственно. Известно, что четырёхугольник $M{B}_{1}KD$ $—$ ромб.

а) Докажите, что точка $M$ $—$ середина ребра $A{A}_1.$

б) Найдите высоту призмы $ABCD{A}_1{B}_1{C}_1{D}_1,$ если площадь её основания $ABCD$ равна 3, а площадь ромба $M{B}_{1}KD$ равна 6.

В правильной четырёхугольной пирамиде $SABCD$ точка $M$ $—$ середина ребра $AB.$ Через точку $M$ проведена плоскость $\alpha ,$ параллельная плоскости $SBC$ и пересекающая ребро $SD$ в точке $K.$

а) Докажите, что $K$ $—$ середина ребра $SD.$

б) Найдите объём пирамиды $SABCD,$ если $AB=\mathrm{24,}$ а угол между прямой $MK$ и плоскостью основания пирамиды равен $30°.$

В пирамиде ${\displaystyle ABCD}$ рёбра ${\displaystyle DA}$, ${\displaystyle DB}$ и ${\displaystyle DC}$ попарно перпендикулярны, а ${\displaystyle AB=BC=AC=6\sqrt{2}}$.

а) Докажите, что эта пирамида правильная.

б) На рёбрах ${\displaystyle DA}$ и ${\displaystyle DC}$ отмечены точки ${\displaystyle M}$ и ${\displaystyle N}$ соответственно, причём ${\displaystyle DM:MA=DN:NC=1:2}$. Найдите расстояние от точки ${\displaystyle D}$ до плоскости ${\displaystyle MNB}$.

В правильной четырёхугольной пирамиде $SABCD$ через ребро $AB$ провели плоскость $\text{α}$, образующую сечение $ABMN\text{},$ где точки $M$ и $N$ $—$ точки пересечения плоскости $\text{α}$ с боковыми рёбрами $SC$ и $SD$ соответственно. Известно, что $AB=BM=AN=5MN\text{}.$ 

а) Докажите, что точки $M$ и $N$ делят рёбра $SC$ и $SD$ в отношении $1:\mathrm{4,}$ считая от вершины $S.$

б) Найдите косинус угла между плоскостью основания $ABCD$ и плоскостью $\text{α}\text{.}$ 

В основании прямой призмы $ABCD{A}_1{B}_1{C}_1{D}_1$ лежит равнобедренная трапеция $ABCD$ с основаниями $AD=3$ и $BC=2.$ Точка $M$ делит
ребро $A_1{D}_1$ в отношении $A_{1}M:M{D}_1=1:\mathrm{2,}$ а точка $K$ $—$ середина ребра $D{D}_1.$

а) Докажите, что плоскость $MKC$ параллельна прямой $BD.$

б) Найдите тангенс угла между плоскостью $MKC$ и плоскостью основания призмы, если $\angle MKC=90°,$ $\angle ADC=60°.$

В правильной треугольной призме $ABC{A}_1{B}_1{C}_1$ отметили точки $M$ и $K$ 
на рёбрах $A{A}_1$ и $A_1{B}_1$ соответственно. Известно, что $A_{1}M=2MA,$ $A_{1}K=K{B}_1.$ Через точки $M$ и $K$ провели плоскость $\text{α}$ перпендикулярно
грани $AB{B}_1{A}_1.$

а) Докажите, что плоскость $\text{α}$ проходит через вершину $C_1.$

б) Найдите площадь сечения призмы $ABC{A}_1{B}_1{C}_1$ плоскостью $\text{α}\text{,}$ если все рёбра призмы равны $12.$

Плоскость $\text{α}$ перпендикулярна плоскости основания $ABCD$ правильной четырёхугольной пирамиды $SABCD$ и пересекает ребро $SA$ в точке $K.$ Сечение пирамиды плоскостью $\text{α}$ является правильным треугольником площадью $4\sqrt{3}.$а) Докажите, что плоскость $\text{α}$ перпендикулярна прямой $AC.$

б) В каком отношении точка $K$ делит ребро $SA,$ считая от точки $S,$ если объём пирамиды равен $18\sqrt{3}?$

В правильном тетраэдре $ABCD$ точки $M$ и $N$ $—$ середины рёбер $AB$ и $CD$ соответственно. Плоскость $\alpha$ перпендикулярна прямой $MN$ и пересекает ребро $BC$ в точке $K.$ 

а) Докажите, что прямая $MN$ перпендикулярна рёбрам $AB$ и $CD.$

б) Найдите площадь сечения тетраэдра $ABCD$ плоскостью $\alpha ,$ если известно, что $BK=\mathrm{1,}$ $KC=3.$

В правильной четырёхугольной пирамиде ${\displaystyle SABCD}$ сторона основания ${\displaystyle AB}$ равна 6, а боковое ребро ${\displaystyle SA}$ равно 7. На рёбрах ${\displaystyle CD}$ и ${\displaystyle SC}$ отмечены
точки ${\displaystyle N}$ и ${\displaystyle K}$ соответственно, причём ${\displaystyle DN:NC=SK:KC=1:2}$. Плоскость ${\displaystyle \text{α}}$ содержит прямую ${\displaystyle KN}$ и параллельна прямой ${\displaystyle BC}$.

а) Докажите, что плоскость ${\displaystyle \text{α}}$ параллельна прямой ${\displaystyle SA}$.

б) Найдите угол между плоскостями ${\displaystyle \text{α}}$ и ${\displaystyle SBC}$.

Основанием четырёхугольной пирамиды ${\displaystyle SABCD}$ является прямоугольник ${\displaystyle ABCD}$, причём ${\displaystyle AB=2\sqrt{2}}$, ${\displaystyle BC=4}$. Основанием высоты пирамиды является центр прямоугольника. Из вершин ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle C}$ опущены перпендикуляры ${\displaystyle AP }$ и ${\displaystyle CQ}$ на ребро ${\displaystyle SB}$.

а) Докажите, что ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle —}$ середина отрезка ${\displaystyle BQ}$.

б) Найдите угол между гранями ${\displaystyle SBA}$ и ${\displaystyle SBC}$, если ${\displaystyle SD=4}$.

В прямоугольном параллелепипеде ${\displaystyle ABCD{A}_1{B}_1{C}_1{D}_1}$ известны длины рёбер: ${\displaystyle AB=6\sqrt{2}}$, ${\displaystyle AD=10}$, ${\displaystyle A{A}_1=16}$. На рёбрах ${\displaystyle A{A}_1}$ и ${\displaystyle B{B}_1}$ отмечены точки ${\displaystyle E}$ и ${\displaystyle F}$ соответственно, причём ${\displaystyle A_{1}E:EA=5:3}$ и ${\displaystyle B_{1}F:FB=5:11}$. Точка ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle —}$ середина ребра ${\displaystyle B_1{C}_1}$.

а) Докажите, что плоскость ${\displaystyle EFT}$ проходит через точку ${\displaystyle D_1}$.

б) Найдите площадь сечения параллелепипеда плоскостью ${\displaystyle EFT}$.

Все рёбра правильной четырёхугольной пирамиды ${\displaystyle SABCD}$ с основанием ${\displaystyle ABCD}$ равны 4. Точка ${\displaystyle O}$ — центр основания пирамиды. Плоскость, параллельная прямой ${\displaystyle SA}$ и проходящая через точку ${\displaystyle O,}$ пересекает рёбра ${\displaystyle SC}$ и ${\displaystyle SD}$ в точках ${\displaystyle M}$ и ${\displaystyle N}$ соответственно. Точка ${\displaystyle N}$ делит ребро ${\displaystyle SD}$ в отношении ${\displaystyle SN:ND=1:3.}$ 

а) Докажите, что точка ${\displaystyle M}$ — середина ребра ${\displaystyle SC.}$ 

б) Найдите длину отрезка, по которому плоскость ${\displaystyle OMN}$ пересекает грань ${\displaystyle SBC.}$ 

В правильной четырёхугольной пирамиде ${\displaystyle SABCD}$ сторона основания ${\displaystyle AB}$ равна 4, а боковое ребро ${\displaystyle SA}$ равно 7. На рёбрах ${\displaystyle CD}$ и ${\displaystyle SC}$ отмечены
точки ${\displaystyle N}$ и ${\displaystyle K}$ соответственно, причём ${\displaystyle DN:NC=SK:KC=1:3}$. Плоскость ${\displaystyle \text{α}}$ содержит прямую ${\displaystyle KN}$ и параллельна прямой ${\displaystyle BC}$.

а) Докажите, что плоскость ${\displaystyle \text{α}}$ параллельна прямой ${\displaystyle SA}$.

б) Найдите угол между плоскостями ${\displaystyle \text{α}}$ и ${\displaystyle SBC}$.

В пирамиде ${\displaystyle ABCD}$ рёбра ${\displaystyle DA}$, ${\displaystyle DB}$ и ${\displaystyle DC}$ попарно перпендикулярны,
а ${\displaystyle AB=BC=AC=5\sqrt{2}}$.

а) Докажите, что эта пирамида правильная.

б) На рёбрах ${\displaystyle DA}$ и ${\displaystyle DC}$ отмечены точки ${\displaystyle M}$ и ${\displaystyle N}$ соответственно, причём ${\displaystyle DM:MA=DN:NC=2:3}$. Найдите площадь сечения ${\displaystyle MNB}$.

В правильной треугольной призме  сторона  основания равна 6,
а боковое ребро  равно 4. На рёбрах  и  отмечены точки  и  соответственно, причём .

а) Точки  и  — центры окружностей, описанных около треугольников  и  соответственно. Докажите, что прямая  содержит точку пересечения медиан треугольника .

б) Найдите расстояние от точки  до плоскости .

В прямоугольном параллелепипеде $ABCD{A}_1{B}_1{C}_1{D}_1$ через середину $M$ диагонали $A{C}_1$ проведена плоскость $\text{α}$ перпендикулярно этой диагонали, $AB=\mathrm{5,}$ $BC=\mathrm{3,}$ $A{A}_1=4.$

а) Докажите, что плоскость $\text{α}$ содержит точку $D_1.$

б) Найдите отношение, в котором плоскость $\text{α}$ делит ребро $A_1{B}_1.$

В прямоугольном параллелепипеде ${\displaystyle ABCD{A}_1{B}_1{C}_1{D}_1}$ известны длины рёбер: ${\displaystyle AB=2\sqrt{2}}$, ${\displaystyle AD=6}$, ${\displaystyle A{A}_1=10}$. На рёбрах ${\displaystyle A{A}_1}$ и ${\displaystyle B{B}_1}$ отмечены точки ${\displaystyle E}$ и ${\displaystyle F}$ соответственно, причём ${\displaystyle A_{1}E:EA=3:2}$ и ${\displaystyle B_{1}F:FB=3:7}$. Точка ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle —}$ середина ребра ${\displaystyle B_1{C}_1}$.

а) Докажите, что плоскость ${\displaystyle EFT}$ проходит через точку ${\displaystyle D_1}$.

б) Найдите площадь сечения параллелепипеда плоскостью ${\displaystyle EFT}$.

В основании прямой призмы $ABC{A}_1{B}_1{C}_1$ лежит равнобедренный
треугольник $ABC$ с основанием $AB.$ Точка $P$ делит ребро $AB$ 
в отношении $AP:PB=1:\mathrm{3,}$ а точка $Q$ $—$ середина ребра $A_1{C}_1.$ 
Через середину $M$ ребра $BC$ провели плоскость $\alpha ,$ перпендикулярную отрезку $PQ.$