Задание 829956 по планиметрии

а) Точки B, C, B₁ и C₁ лежат на одной окружности. Так как A, B, C₁ лежат на одной прямой, а A, C, B₁ — на одной прямой, то ∠BAC=∠B₁AC₁.

Углы ∠CB₁C₁ и ∠CBC₁ — противоположные углы вписанного четырёхугольника BCB₁C₁, поэтому их сумма равна 180°. Лучи B₁A и B₁C противоположны, следовательно,
∠AB₁C₁=180°−∠CB₁C₁=∠CBC₁=∠ABC.
Значит, △ABC∼△AB₁C₁ по двум углам.

б) Площадь △AB₁C₁ составляет одну девятую площади △ABC. Поэтому коэффициент подобия большого треугольника к малому равен 3. Следовательно, BC=18.
Пусть AB₁=x. Тогда AB=3x. В треугольнике ABB₁ угол BAB₁ равен 45°, поэтому по теореме косинусов
BB₁²=(3x)²+x²−2·3x·x·cos45°
=10−3√2x².
Значит, BB₁=x√10−3√2.

По теореме синусов в треугольнике ABB₁
sin∠AB₁B=AB·sin45°BB₁.
Углы AB₁B и BB₁C смежные, поэтому их синусы равны. Получаем
sin∠BB₁C=3√22√10−3√2.

Данная окружность описана около треугольника BB₁C, поэтому
BC=2R·sin∠BB₁C.
Отсюда R=3√20−6√2.

Ответ: 18; 3√20−6√2.