Задание D7147A: Стереометрия

Пусть BB₁ — образующая цилиндра. Тогда BB₁C₁C — прямоугольник, поэтому BC∥B₁C₁.

а) Так как AC — диаметр основания, угол ABC прямой. Следовательно, BC перпендикулярна AB. Кроме того, BC перпендикулярна BB₁, поскольку BB₁ перпендикулярна плоскости основания. Значит, BC перпендикулярна плоскости ABB₁, а потому BC перпендикулярна AB₁.

В треугольнике AB₁C₁ угол AB₁C₁ прямой. При этом
B₁C₁=BC=AB·√3=√6,
AB₁=√AB²+BB₁²=√2+4=√6.
Значит, треугольник AB₁C₁ равнобедренный прямоугольный, поэтому ∠AC₁B₁=45°. Поскольку B₁C₁∥BC, угол между AC₁ и BC также равен 45°.

б) В прямоугольном треугольнике ABC:
AC=2AB=2√2.
Радиус основания R=AC2=√2, а высота h=CC₁=2. Следовательно,
V=πR²h=π·2·2=4π.

Ответ: 4π.