Задание 727800 по стереометрии

Сечение задано тремя точками A₁, B и M, поэтому это треугольник A₁BM.

В правильной треугольной призме основание — равносторонний треугольник со стороной 2. Обозначим высоту призмы через h и введём координаты:
A(−1,0,0), B(1,0,0), C(0,√3,0),
A₁(−1,0,h), B₁(1,0,h), C₁(0,√3,h).
Точка M — середина CC₁, поэтому M(0,√3,h2).

Вычислим боковые стороны сечения:
A₁M² = (1)²+(√3)²+(h2)² = 4+h²4,
BM² = (−1)²+(√3)²+(h2)² = 4+h²4.
Значит, A₁M=BM, то есть сечение является равнобедренным треугольником.

Основание A₁B имеет длину √h²+4. Высоты, проведённые из M к A₁B, найдём по равнобедренному треугольнику: его боковая сторона имеет квадрат 4+h²4, поэтому
H²=(4+h²4)−(h²+4)4=3,
H=√3.
Следовательно,
S_A₁BM=12·√h²+4·√3=√32·√h²+4.
По условию S_A₁BM=6, поэтому
√32·√h²+4=6,
h²+4=48,
h²=44.

Так как высота положительна, h=2√11.

Ответ: 2√11.