Задание 5D991D по стереометрии

а) Из попарной перпендикулярности рёбер, выходящих из D, по теореме Пифагора получаем:
AB²=DA²+DB², BC²=DB²+DC², AC²=DA²+DC².
Но AB=BC=AC=6√2, поэтому все три левые части равны 72. Вычитая равенства попарно, получаем DA²=DB²=DC²=36, то есть DA=DB=DC=6. Основание ABC равностороннее, а боковые рёбра равны, следовательно, пирамида ABCD правильная.

б) Введём координаты: D(0,0,0), A(6,0,0), B(0,6,0), C(0,0,6). По условию DM=DN=2, поэтому M(2,0,0), N(0,0,2).

Пусть плоскость MNB имеет уравнение ax+by+cz=d. Подстановка трёх точек M(2,0,0), N(0,0,2), B(0,6,0) даёт систему
2a=d,
2c=d,
6b=d.
Следовательно, a=c, b=a3. При a=3 получаем b=1, c=3, d=6, то есть
3x+y+3z=6.
Расстояние от начала координат D до этой плоскости равно
6√3²+1²+3²=6√19=6√1919.

Ответ: 6√1919.