Задание 4963FE: Планиметрия

а) Сумма углов четырёхугольника даёт ∠LMN=30°. Пусть Q — пересечение LO и MN. Так как LO — биссектриса угла KLM=120°, то ∠MLQ=60°. В треугольнике LMQ получаем ∠LQM=90°. Следовательно, OQ⊥MN. Перпендикуляр из центра к стороне касается окружности в точке A, значит, Q=A и A лежит на LO.

б) Пусть r — радиус вписанной окружности. В прямоугольном треугольнике LAM имеем LO=2r√3, OA=r и LA=LO+OA=1. Отсюда r=2√3−3. Длины касательных от N и M равны соответственно r и r·ctg15°=r(2+√3). Поэтому MN=r(3+√3)=3√3−3.