Задание 4679B2: Стереометрия

Расположим основание в плоскости z=0:
A(0,0,0), B(6,0,0), C(3,3√3,0).
Центр правильного треугольника O=(3,√3,0). Высота пирамиды равна
SO=√SA²−OA²=√21−(2√3)²=3,
поэтому S(3,√3,3).

Точка M на AB такова, что AM=4, значит M(4,0,0). Из SK:KB=1:3 получаем
K=S+14(B−S)=(154,3√34,94).

а) Пусть H — ортогональная проекция K на основание. Тогда
H=(154,3√34,0).
Вектор CH=(34,−9√34,0) равен 34·CM, следовательно, точки C,H,M лежат на одной прямой. Прямая KH перпендикулярна плоскости основания и принадлежит плоскости CKM. Значит, (CKM) ⟂ (ABC).

б) В треугольнике BCM имеем BM=2, а высота из C к BM равна 3√3. Поэтому
S_BCM=12·2·3√3=3√3.
Отрезок KH=94 — высота пирамиды BCKM к основанию BCM. Следовательно,
V_BCKM=13·S_BCM·KH=13·3√3·94=9√34.

Ответ: 9√34.