Задание 15EF35: Планиметрия

а) Обозначим BC=b, AD=d, а высоту трапеции — h. Выберем координаты A(0;0), D(d;0), B(s;h), C(s+b;h). Так как E — середина CD,
E(d+s+b2;h2).
Пусть K(ts;th), где t=AK:AB. Из CK∥AE после сравнения координат направляющих векторов получаем
s+b−ts=(d+s+b)(1−t),
d=t(d+b),
t=db+d.
Пусть O=C+u(K−C)=B+v(E−B). Решение этой системы по двум координатам даёт
u=12, v=bb+d.
Следовательно, O=C+12(K−C), то есть CO=KO.

б) Расстояние от K до прямой BC равно h−th=h(1−t)=bhb+d. Поэтому
S(BCK)=12·b·bhb+d=b²h2(b+d).
Площадь трапеции равна S(ABCD)=(b+d)h2. Значит,
S(BCK)S(ABCD)=b²(b+d)²=9100.
Так как b и d положительны, bb+d=310. Отсюда
10b=3(b+d),
7b=3d,
BC:AD=b:d=3:7.

Ответ: 3:7.