Задание 03B44B по стереометрии

Пусть O — центр основания. Высота правильной пирамиды равна SO = √SA²−OA² = √(7²−(4√2)²) = √17.

Введём координаты в плоскости основания: A(−4,−4,0), B(4,−4,0), C(4,4,0), S(0,0,√17). Тогда M(−2,−4,0), а K делит SB в отношении SK:SB = 1:7, поэтому K(47,−47,6√177).

Векторы CM = (−6,−8,0) и CK = (−247,−327,6√177) лежат в плоскости CKM. Ищем нормаль в виде n=(u,v,w). Она перпендикулярна обоим векторам, поэтому
n·CM=−6u−8v=0,
n·CK=−(247)u−(327)v+(6√177)w=0.
После умножения первого уравнения на −12, а второго — на 7 получаем систему
3u+4v=0,
−24u−32v+6√17w=0.
Второе уравнение имеет вид −8(3u+4v)+6√17w=0. По первому уравнению его первая часть равна нулю, значит w=0. Нормаль можно умножать на любое ненулевое число; возьмём u=4. Тогда из 3u+4v=0 получаем v=−3. Итак, n=(4,−3,0) — нормаль к плоскости CKM. Она лежит в плоскости основания, поэтому плоскость CKM перпендикулярна плоскости ABC.

Треугольник BCM прямоугольный: BC = 8, BM = 6, поэтому S(BCM) = 24. Высота тетраэдра BCKM, опущенная из K на основание, равна 6√177. Следовательно,
V(BCKM) = (13)·24·(6√177) = 48√177.