Задание 8F66A4 по планиметрии

а) Точки B, C, B₁ и C₁ лежат на одной окружности. Так как A, B, C₁ лежат на одной прямой, а A, C, B₁ — на одной прямой, то ∠BAC=∠B₁AC₁.

Углы ∠CB₁C₁ и ∠CBC₁ — противоположные углы вписанного четырёхугольника BCB₁C₁, поэтому их сумма равна 180°. Лучи B₁A и B₁C противоположны, следовательно,
∠AB₁C₁=180°−∠CB₁C₁=∠CBC₁=∠ABC.
Значит, △ABC∼△AB₁C₁ по двум углам.

б) Площадь △AB₁C₁ составляет одну пятую площади △ABC. Поэтому коэффициент подобия большого треугольника к малому равен √5. Следовательно, B₁C₁=√11.
Пусть AB₁=x. Тогда AB=√5x. В треугольнике ABB₁ угол BAB₁ равен 150°, поэтому по теореме косинусов
BB₁²=(√5x)²+x²−2·√5x·x·cos150°
=6+√15x².
Значит, BB₁=x√6+√15.

По теореме синусов в треугольнике ABB₁
sin∠AB₁B=AB·sin150°BB₁.
Углы AB₁B и BB₁C смежные, поэтому их синусы равны. Получаем
sin∠BB₁C=√52√6+√15.

Данная окружность описана около треугольника BB₁C, поэтому
BC=2R·sin∠BB₁C.
Отсюда R=√66+11√15.

Ответ: √11; √66+11√15.