Задание 04294C по стереометрии

Расположим квадрат основания в плоскости z = 0: O(0,0,0), A(−1,−1,0), B(1,−1,0), C(1,1,0), D(−1,1,0), S(0,0,14). Тогда M — середина SC, поэтому M(12,12,7), а K(1,12,0).

Вектор OM = (12,12,7), а вектор AS = (1,1,14) = 2·OM. Поэтому OM ∥ AS; поскольку OM лежит в плоскости OMK, плоскость OMK параллельна прямой SA.

Выведем уравнение плоскости OMK через систему. Так как она проходит через O(0,0,0), запишем её в виде ax+by+cz=0. Направляющие векторы OM=(12,12,7) и OK=(1,12,0) перпендикулярны нормали (a,b,c), поэтому
a2+b2+7c=0,
a+b2=0.
Положим c=1. Тогда из второго уравнения a=−b2, а из первого получаем b=−28 и a=14. Следовательно,
14x−28y+z=0.

На ребре AD имеем x=−1, z=0. Подстановка даёт −14−28y=0, откуда y=−12; поэтому P(−1,−12,0). Точку Q на SD запишем как Q=S+t(D−S)=(−t,t,14(1−t)). Подстановка в уравнение плоскости даёт
−14t−28t+14(1−t)=0,
14−56t=0,
t=14.
Следовательно, Q(−14,14,212). Отрезок PQ — искомое пересечение с гранью SAD.

PQ² = (34)² + (34)² + (212)² = 8918, поэтому PQ = 9√224.