Задание 003F6E: Планиметрия

а) Пусть AB=BD=5u, DC=2u. Тогда BC=7u. Биссектриса BF пересекает AC в точке F, поэтому по теореме о биссектрисе
AF:FC=AB:BC=5:7.
Следовательно,
F=7A+5C12.
Точка E лежит одновременно на BF и AD. Из равенства
E=tF=A+s(D−A)
после сравнения коэффициентов при A и C получаем
7t12=1−s, 5t12=5s7,
t=12s7, s=12.
Значит, E — середина AD. Треугольник ABD равнобедренный, поэтому BE⊥AD. Также CK⊥AD, то есть BE∥CK.
Положим AE=ED=d2 и BE=h. Тогда A(−d2;0), E(0;0), D(d2;0), B(0;h). Из BD:DC=5:2 имеем
C=B+75(D−B)=(7d10;−2h5).
Поэтому K(7d10;0),
AE:EK=d2:7d10=5:7=AB:BC.

б) Из AF:FC=5:7 и координат A, C находим
F=7A+5C12=(0;−h6).
Тогда
S(ABE)=d·h4,
S(CDEF)=19dh120
по формуле площади многоугольника через координаты его вершин C, D, E, F. Следовательно,
S(ABE):S(CDEF)=dh4:19dh120=30:19.

Ответ: 30:19.