Задание 0549EB по стереометрии

ФИПИ · темы 7.2–7.5 · развёрнутый ответ · 66 заданий Решение опубликовано — перейти к ответу ↓ Ошибка или пожелание
Дайте развернутый ответ.

В основании прямой призмы ABCD A 1 B 1 C 1 D 1  лежит параллелограмм ABCD.  На рёбрах A 1 B 1 ,   B 1 C 1  и BC  отмечены точки M,   K  и N  соответственно, причём B 1 K:K C 1 =1:2.  Четырёхугольник AMKN   —  равнобедренная трапеция с основаниями 2 и 3.

а) Докажите, что точка N   —  середина ребра BC.

б) Найдите площадь трапеции AMKN,  если объём призмы равен 12, а высота призмы равна 2.


 

i
СВОЙСТВА ЗАДАНИЯ
КЭС:
7.1 Фигуры на плоскости
7.3 Многогранники
Тип ответа:Развернутый ответ
Номер: 0549EB
НЕ РЕШЕНО Изменить статус

Решение задания 0549EB

Ответ: 5√376

а) Стороны треугольников MB₁K и ABN соответственно параллельны, поэтому эти треугольники подобны. Коэффициент подобия равен 23. Отсюда
B₁KBN=23.
Но B₁K=13·B₁C₁=13·BC, поэтому BN=BC2. Значит, N — середина BC.

б) Объём призмы равен 12, высота равна 2, поэтому площадь основания равна 6. Так как N — середина BC, то
SABN=14·SABCD=32.

Основания трапеции AMKN равны AN=3 и MK=2. Пусть BH — высота треугольника ABN, а B₁H₁ — высота подобного ему треугольника MB₁K. Тогда
BH=2S_ABNAN=1,
B₁H₁=23·BH=23.

Высота трапеции AMKN равна
HH₁=√(BB₁²+(BH−B₁H₁)²)
=√(2²+(13)²)=√373.

Следовательно,
SAMKN=HH₁·(AN+MK)2
=√373·52=5√376.

Ответ: 5√376.

Схема к решению задания 0549EB
Обозначения: M∈A₁B₁, B₁M:MA₁=2:1; K∈B₁C₁, B₁K:KC₁=1:2; N — середина BC. Сечение — трапеция A–M–K–N.

Помочь улучшить сайт

Напишите пожелание к сайту или решению либо сообщите о найденной неточности в задании 0549EB.

Сообщение увидит только команда сайта: на странице оно не публикуется.

Комментарии к решению

Комментарии видны всем посетителям сайта.

Комментариев пока нет. Будьте первым.

Чтобы оставить комментарий, войдите или зарегистрируйтесь.