Задание 616CD3: Стереометрия

а) Через O в плоскости OMN проходит прямая, параллельная SA. В треугольнике SAC точка O — середина диагонали AC. Прямая, проведённая через середину O стороны AC параллельно SA, пересекает SC в её середине. Следовательно, M — середина SC.

б) Введём координаты: O(0,0,0), A(−2,−2,0), B(2,−2,0), C(2,2,0), D(−2,2,0), S(0,0,2√2).
Из SN:ND=1:3 получаем
N(−12,12,3√22),
а из пункта а): M(1,1,√2).

Так как плоскость проходит через O, запишем её уравнение в виде ax+by+cz=0. Векторы OM=(1,1,√2) и ON=(−12,12,3√22) лежат в плоскости, поэтому коэффициенты удовлетворяют системе
a+b+√2c=0,
−a2+b2+3√2c2=0.
Положим c=1. Тогда a+b=−√2 и −a+b=−3√2, откуда a=√2, b=−2√2. Следовательно,
√2x−2√2y+z=0.

Пусть L — точка пересечения плоскости с гранью SBC; тогда L лежит на BC и имеет вид L(2,t,0). Подстановка в уравнение плоскости даёт систему
√2·2−2√2·t=0,
t=1.
Поэтому L(2,1,0).

Следовательно,
ML=√(2−1)²+(1−1)²+(0−√2)²=√3.

Ответ: √3.