Задание DE9364 по стереометрии

а) Рассмотрим проекцию плоскости α на основание пирамиды вдоль направления SA. Проекция точки M — середина CD, а проекция N совпадает с N. Прямая их соединяющая пересекает AD в точке R. В трапеции ABCD получаем
BN:NC=AR:RD.

Плоскость α параллельна SA, поэтому точка L на SD проектируется в R. Следовательно,
DL:LS=AR:RD=BN:NC.

б) Для отношения объёмов достаточно применить аффинные координаты: A(0,0,0), B(1,0,0), C(1,1,0), D(0,1,0), S(0,0,1). При BN:NC=1:3 имеем N(1,14,0), M(12,12,12).

Выведем уравнение α. Плоскость параллельна SA=(0,0,1), поэтому её уравнение не содержит z и имеет вид ax+by=d. Подставляя N и M, получаем систему
a+b4=d,
a2+b2=d.
Вычитая уравнения, имеем b=2a; тогда d=3a2. При a=1 получаем
x+2y=32.

Найдём объём части со стороны вершины C. На высоте z сечение пирамиды — квадрат 0≤x,y≤L, где L=1−z. Нужная часть задаётся x+2y≥32. Её площадь равна
0 при L≤12;
94·(L−12)² при 12≤L≤34;
54L²−34L при 34≤L≤1.

Интегрируя площади горизонтальных сечений, получаем
V₁=∫_(12)^(34) 94(L−12)² dL + ∫_(34)¹ (54L²−34L) dL=17192.
Объём всей пирамиды равен 13=64192, поэтому второй объём равен 47192.

Следовательно, объёмы относятся как 17:47.

Ответ: 17:47.