Задание AC2684: Планиметрия

а) Возьмём A за начало и обозначим AB=b, AC=c. По условиям деления сторон
AC₁=2131b,
AA₁=35b+25c,
AB₁=27c.
Точка пересечения BB₁ и CC₁ имеет вид
D=B+25(B₁−B)=C+3135(C₁−C)
=35b+435c.
Поэтому
AD=35b+435c=AA₁−AB₁.
Отсюда AD=B₁A₁ и DA₁=AB₁, значит, ADA₁B₁ — параллелограмм.

б) Условие AD⊥BC записывается так:
(35b+435c)·(c−b)=0.
Пусть x=b·c. Из |c|=63 и |c−b|=25 получаем
b²−2x=25²−63²=−3344,
b²=2x−3344.
После умножения условия перпендикулярности на 35 имеем
21(x−b²)+4(63²−x)=0,
17x−21b²+15876=0.
Подставляя b²=2x−3344, находим
17x−21(2x−3344)+15876=0,
x=3444, b²=3544.
Теперь CD=3135c−35b, поэтому
CD²=(3135)²·63²+(35)²·3544−2·3135·35·3444=729.
Следовательно, CD=27.

Ответ: 27.