Задание 3CDB1B по планиметрии

а) Точки B, C, B₁ и C₁ лежат на одной окружности. Так как A, B, C₁ лежат на одной прямой, а A, C, B₁ — на одной прямой, то ∠BAC=∠B₁AC₁.

Углы ∠CB₁C₁ и ∠CBC₁ — противоположные углы вписанного четырёхугольника BCB₁C₁, поэтому их сумма равна 180°. Лучи B₁A и B₁C противоположны, следовательно,
∠AB₁C₁=180°−∠CB₁C₁=∠CBC₁=∠ABC.
Значит, △ABC∼△AB₁C₁ по двум углам.

б) Площадь △AB₁C₁ составляет одну восьмую площади △ABC. Поэтому коэффициент подобия большого треугольника к малому равен √8. Следовательно, BC=20√2.
Пусть AB₁=x. Тогда AB=√8x. В треугольнике ABB₁ угол BAB₁ равен 135°, поэтому по теореме косинусов
BB₁²=(√8x)²+x²−2·√8x·x·cos135°
=13x².
Значит, BB₁=x√13.

По теореме синусов в треугольнике ABB₁
sin∠AB₁B=AB·sin135°BB₁.
Углы AB₁B и BB₁C смежные, поэтому их синусы равны. Получаем
sin∠BB₁C=2√13.

Данная окружность описана около треугольника BB₁C, поэтому
BC=2R·sin∠BB₁C.
Отсюда R=5√26.

Ответ: 20√2; 5√26.