Задание 149319 по стереометрии

ФИПИ · темы 7.2–7.5 · развёрнутый ответ · 66 заданий Решение опубликовано — перейти к ответу ↓ Ошибка или пожелание
Дайте развернутый ответ.

В основании правильной треугольной пирамиды ABCD  лежит треугольник ABC  со стороной, равной 5. Боковое ребро пирамиды равно 9. На ребре AD отмечена точка T  так, что AT:TD=1:2 . Через точку Т  параллельно прямым AC  и BD  проведена плоскость.

а) Докажите, что сечение пирамиды указанной плоскостью является прямоугольником.

б) Найдите площадь сечения.


 

i
СВОЙСТВА ЗАДАНИЯ
КЭС:
7.2 Прямые и плоскости в пространстве
7.3 Многогранники
Тип ответа:Развернутый ответ
Номер: 149319
НЕ РЕШЕНО Изменить статус

Решение задания 149319

Ответ: 10

Пусть π — данная плоскость. В треугольнике ACD через T проведём прямую TP ∥ AC; она пересечёт CD в P. В треугольнике ABD через T проведём TQ ∥ BD; она пересечёт AB в Q. Через Q прямая, параллельная AC, пересекает BC в R. Получается сечение QTPR.

Так как AT:TD = 1:2, то ATAD = 13. Поэтому из подобия ΔAQT и ΔABD имеем QT = BD3 = 3. В треугольнике DAC треугольники DTP и DAC подобны, причём DTDA = 23. Следовательно, TP = (23)·AC = 103.

В правильной пирамиде BD ⟂ AC: проекция BD на основание — BO, а BO ⟂ AC; высота DO также перпендикулярна AC. Значит, QTPR — прямоугольник.

S(QTPR) = 3·(103) = 10.

Схема к решению задания 149319
Обозначения: T∈AD, AT:TD=1:2; Q∈AB, P∈CD, R∈BC; QTPR — прямоугольное сечение.

Помочь улучшить сайт

Напишите пожелание к сайту или решению либо сообщите о найденной неточности в задании 149319.

Сообщение увидит только команда сайта: на странице оно не публикуется.

Комментарии к решению

Комментарии видны всем посетителям сайта.

Комментариев пока нет. Будьте первым.

Чтобы оставить комментарий, войдите или зарегистрируйтесь.