Задание 8A0B46 по стереометрии

Обозначим AB=a, AD=b, AA₁=c. Введём координаты: A(0,0,0), B(a,0,0), D(0,b,0), A₁(0,0,c).

Плоскость α содержит диагональ BD₁ и параллельна AC. Поэтому она пересекает рёбра AA₁ и CC₁ в их серединах P и Q. Сечением является четырёхугольник BPD₁Q.

BP²=a²+c²4, а PD₁²=b²+c²4. По условию сечение — ромб, значит BP=PD₁. Следовательно, a=b, то есть грань ABCD — квадрат.

Теперь a=b=12, c=10. Направляющие векторы плоскости α: BD₁=(-12,12,10), AC=(12,12,0). Пусть её нормаль равна (u,v,w). Из перпендикулярности этим векторам получаем систему
−12u+12v+10w=0,
12u+12v=0.
Отсюда v=−u, w=12u5. При u=5 имеем нормаль nα=(5,−5,12).

Нормаль к грани BCC₁ равна n=(1,0,0). Косинус угла между плоскостями равен косинусу угла между их нормалями:
cos φ=|nα·n|(|nα|·|n|)=5√25+25+144=5√194.

Ответ: arccos(5√194).