Задание 0B28A5 по стереометрии

ФИПИ · темы 7.2–7.5 · развёрнутый ответ · 66 заданий Решение опубликовано — перейти к ответу ↓ Ошибка или пожелание
Дайте развернутый ответ.

В прямоугольном параллелепипеде ABCD A 1 B 1 C 1 D 1  через середину M  диагонали A C 1  проведена плоскость α  перпендикулярно этой диагонали, AB=5,   BC=3,   A A 1 =4.

а) Докажите, что плоскость α  содержит точку D 1 .

б) Найдите отношение, в котором плоскость α  делит ребро A 1 B 1 .


 

i
СВОЙСТВА ЗАДАНИЯ
КЭС:
7.1 Фигуры на плоскости
7.2 Прямые и плоскости в пространстве
7.3 Многогранники
Тип ответа:Развернутый ответ
Номер: 0B28A5
НЕ РЕШЕНО Изменить статус

Решение задания 0B28A5

Ответ: 9:16

а) Введём координаты: A(0,0,0), B(5,0,0), C(5,3,0), D(0,3,0), A₁(0,0,4). Тогда C₁(5,3,4), а середина диагонали AC₁:
M(52,32,2).

По условию плоскость α перпендикулярна диагонали AC₁, поэтому её нормальный вектор равен направляющему вектору AC₁=(5,3,4). Уравнение плоскости, проходящей через M, получаем из скалярного произведения:
(5,3,4)·((x,y,z)−(52,32,2))=0.
То есть
5(x−52)+3(y−32)+4(z−2)=0,
5x+3y+4z=25.
Координаты D₁ равны (0,3,4); они удовлетворяют уравнению: 0+9+16=25. Значит, D₁∈α.

б) Пусть P — точка пересечения α с A₁B₁. У точек этого ребра y=0, z=4; поэтому
5x+16=25,
x=95.
Значит,
A₁P=95, PB₁=5−95=165,
то есть A₁P:PB₁=9:16.

Ответ: 9:16.

Схема к решению задания 0B28A5
Обозначения: M — середина диагонали AC₁; P=α∩A₁B₁, A₁P:PB₁=9:16; D₁∈α. На схеме M лежит на отрезке BD₁ внутри плоскости α.

Помочь улучшить сайт

Напишите пожелание к сайту или решению либо сообщите о найденной неточности в задании 0B28A5.

Сообщение увидит только команда сайта: на странице оно не публикуется.

Комментарии к решению

Комментарии видны всем посетителям сайта.

Комментариев пока нет. Будьте первым.

Чтобы оставить комментарий, войдите или зарегистрируйтесь.