Задание C185DD по стереометрии

а) Так как основание высоты S — центр прямоугольника, то SA=SB=SC=SD. Обозначим SB=x. В прямоугольном треугольнике ABP:
BP=AB·cos∠ABS.
Треугольник ABS равнобедренный, поэтому
cos∠ABS=AB(2SB),
откуда BP=AB²(2x).
Аналогично из прямоугольного треугольника CBQ получаем
BQ=BC²(2x).

Так как AB²=8, BC²=16, то BQ=2BP. Точки P и Q лежат на SB, следовательно, P — середина BQ.

б) Теперь SB=SD=4. Из пункта а): BP=1, BQ=2. В прямоугольных треугольниках ABP и CBQ:
AP=√AB²−BP²=√7,
CQ=√BC²−BQ²=2√3.

Проведём через P в грани SBC прямую PR∥CQ; она пересекает BC в точке R. Так как P — середина BQ, то R — середина BC и PR=CQ2=√3. Угол APR — линейный угол двугранного угла между гранями SBA и SBC: AP⊥SB и PR⊥SB.

Кроме того, BR=2, поэтому AR=√AB²+BR²=2√3. По теореме косинусов в треугольнике APR:
cos∠APR=(AP²+PR²−AR²)(2·AP·PR)
=(7+3−12)(2√7·√3)=−1√21.
Искомый угол между плоскостями острый, значит, его косинус равен 1√21.

Ответ: arccos(1√21).