Задание 82F7A1 по стереометрии

ФИПИ · темы 7.2–7.5 · развёрнутый ответ · 66 заданий Решение опубликовано — перейти к ответу ↓ Ошибка или пожелание
Дайте развернутый ответ.

В основании прямой призмы ABC A 1 B 1 C 1  лежит равнобедренный
треугольник ABC  с основанием AB.  Точка P  делит ребро AB  
в отношении AP:PB=1:3,  а точка Q   —  середина ребра A 1 C 1 .  
Через середину M  ребра BC  провели плоскость α,  перпендикулярную отрезку PQ.

а) Докажите, что плоскость α  параллельна ребру AB.

б) Найдите отношение, в котором плоскость α  делит отрезок PQ,  считая от точки P,  если известно, что AB=A A 1 ,   AB:BC=2:5.


 

i
СВОЙСТВА ЗАДАНИЯ
КЭС:
7.1 Фигуры на плоскости
7.2 Прямые и плоскости в пространстве
7.3 Многогранники
Тип ответа:Развернутый ответ
Номер: 82F7A1
НЕ РЕШЕНО Изменить статус

Решение задания 82F7A1

Ответ: 3:2

Удобно положить AB=AA₁=2. Тогда AC=BC=5. Возьмём координаты
A(−1,0,0), B(1,0,0), C(0,2√6,0),
A₁(−1,0,2), C₁(0,2√6,2).

Тогда
P(−12,0,0),
Q(−12,√6,2),
M(12,√6,0).
По условию PQ перпендикулярен плоскости α, поэтому вектор
PQ=(0,√6,2)
является её нормалью. Плоскость проходит через M, значит
(0,√6,2)·((x,y,z)−(12,√6,0))=0.
Отсюда
√6(y−√6)+2z=0,
то есть √6y+2z=6.

а) Уравнение плоскости не содержит x. Следовательно, она параллельна направлению оси x, то есть ребру AB.

б) Пусть X — точка пересечения α и PQ. Точка PQ имеет вид
(−12,t√6,2t),
где t отсчитывается от P. Подстановка в уравнение α даёт
6t+4t=6,
t=35.
Значит, PX:XQ=35:25=3:2.

Ответ: 3:2.

Схема к решению задания 82F7A1
Обозначения: P∈AB, AP:PB=1:3; Q — середина A₁C₁; M — середина BC; α проходит через M и перпендикулярна PQ.

Помочь улучшить сайт

Напишите пожелание к сайту или решению либо сообщите о найденной неточности в задании 82F7A1.

Сообщение увидит только команда сайта: на странице оно не публикуется.

Комментарии к решению

Комментарии видны всем посетителям сайта.

Комментариев пока нет. Будьте первым.

Чтобы оставить комментарий, войдите или зарегистрируйтесь.