Задание 34E1B6: Планиметрия

а) Проведём через C прямую CC₁, параллельную диагонали BD, до пересечения с прямой AD. Четырёхугольник BCC₁D — параллелограмм, поэтому
CC₁=BD=5,
AC₁=AD+DC₁=AD+BC=13.
В треугольнике ACC₁ известны стороны AC=12, CC₁=5, AC₁=13. Имеем
AC²+CC₁²=12²+5²=144+25=169=13²=AC₁².
По обратной теореме Пифагора ∠ACC₁=90°. Поскольку CC₁∥BD, то AC⊥BD: диагонали трапеции перпендикулярны.

б) Точка C₁ лежит на прямой AD, поэтому высота трапеции равна высоте прямоугольного треугольника ACC₁, опущенной на гипотенузу AC₁. Его площадь можно вычислить двумя способами:
12·52=13h2.
Отсюда
h=12·513=6013.

Ответ: 6013.