Задание 0063ED: Планиметрия

а) Прямая C₁H — часть высоты CC₁, а HK — часть высоты AA₁. Поэтому ∠C₁HK=∠ABC. Кроме того, C₁K∥BB₁, а BB₁⊥AC и HK⊥BC, откуда ∠C₁KH=∠ACB. Следовательно, △C₁HK∼△ABC, причём C₁H соответствует AB, а KH — BC. Значит,
KHC₁H=BCAB,
AB·KH=BC·C₁H.

б) Положим B(0;0), C(4;0). Из AB=6 и AC=5 получаем
A(278;15√78).
Проекция C на AB и пересечение высот равны
C₁(8164;45√764), H(278;9√756).
Высота BB₁ перпендикулярна AC, поэтому имеет угловой коэффициент 13√7. Прямая через C₁, параллельная BB₁, пересекает AA₁ в точке
K(278;45√756).
Теперь HK=9√714, а расстояние от C₁ до прямой HK равно
278−8164=13564.
Поэтому
S(C₁HK)=12·9√714·13564=1215√71792.
С другой стороны,
S(ABC)=12·4·15√78=15√74.
Следовательно,
S(C₁HK)S(ABC)=1215√71792:15√74=81:448.

Ответ: 81:448.