Задание 1F7CE6: Стереометрия

а) Из условий AM:MB=1:2 и CN:NB=1:2 получаем
AM=(13)AB,
AN=AB+(23)BC=(13)AB+(23)AC.
Так как P и Q — середины DA и DC, то
AP=(12)AD,
AQ=(12)(AD+AC),
PQ=(12)AC.
Следовательно,
MN=AN−AM=(23)AC=(43)PQ.
Значит, MN∥PQ. Точка M не лежит в грани ACD, поэтому это различные прямые; две параллельные прямые определяют плоскость. Следовательно, P, Q, M и N лежат в одной плоскости.

б) Для вычисления отношения объёмов возьмём A(0,0,0), B(1,0,0), C(0,1,0), D(0,0,1). Точки имеют координаты
P(0,0,12), Q(0,12,12), M(13,0,0), N(13,23,0).

Выведем уравнение плоскости сечения. Пусть её нормаль равна (a,b,c). Она перпендикулярна векторам
PQ=(0,12,0), PM=(13,0,−12), поэтому
(a,b,c)·PQ=b2=0,
(a,b,c)·PM=a3+−c2=0.
Таким образом,
b=0,
2a−3c=0.
Нормаль можно умножать на любое ненулевое число; положим c=2. Тогда a=3, и нормаль равна (3,0,2). Для произвольной точки X(x,y,z) плоскости вектор
PX=(x−0,y−0,z−12)
лежит в этой плоскости, поэтому он перпендикулярен нормали. Следовательно,
(3,0,2)·(x−0,y−0,z−12)=0,
3(x−0)+2(z−12)=0,
то есть 3x+2z=1.

Меньшая часть тетраэдра задаётся неравенствами x≥0, z≥0, 3x+2z≤1. При фиксированных x,z её длина по оси y равна 1−x−z. Поэтому её объём равен
∫₀¹³ ∫₀^(1−3x)2 (1−x−z) dz dx=13216.

Объём всего тетраэдра равен 16=36216. Следовательно, объёмы частей относятся как
13:(36−13)=13:23.

Ответ: 13:23.