Задание 1F7CE6 по стереометрии

а) Из условий AM:MB=1:2 и CN:NB=1:2 получаем
AM=(13)AB,
AN=AB+(23)BC=(13)AB+(23)AC.
Так как P и Q — середины DA и DC, то
AP=(12)AD,
AQ=(12)(AD+AC),
PQ=(12)AC.
Следовательно,
MN=AN−AM=(23)AC=(43)PQ.
Значит, MN∥PQ. Точка M не лежит в грани ACD, поэтому это различные прямые; две параллельные прямые определяют плоскость. Следовательно, P, Q, M и N лежат в одной плоскости.

б) Для вычисления отношения объёмов возьмём A(0,0,0), B(1,0,0), C(0,1,0), D(0,0,1). Точки имеют координаты
P(0,0,12), Q(0,12,12), M(13,0,0), N(13,23,0).

Выведем уравнение плоскости сечения. Пусть её нормаль равна (a,b,c). Она перпендикулярна векторам
PQ=(0,12,0), PM=(13,0,−12), поэтому
(a,b,c)·PQ=b2=0,
(a,b,c)·PM=a3−c2=0.
Таким образом,
b=0,
2a−3c=0.
Нормаль можно умножать на любое ненулевое число; положим c=2. Тогда a=3, и нормаль равна (3,0,2). Подставляя точку P, получаем
3(x−0)+2(z−12)=0,
то есть 3x+2z=1.

Меньшая часть тетраэдра задаётся неравенствами x≥0, z≥0, 3x+2z≤1. При фиксированных x,z её длина по оси y равна 1−x−z. Поэтому её объём равен
∫₀^(13) ∫₀^((1−3x)2) (1−x−z) dz dx=13216.

Объём всего тетраэдра равен 16=36216. Следовательно, объёмы частей относятся как
13:(36−13)=13:23.

Ответ: 13:23.