Задание 182CF4 по стереометрии

Введём точки сечения:
P=α∩SA, Q=α∩SD.
Значит, P лежит на ребре SA, M — на AB, N — на CD, Q — на SD. Контур сечения имеет порядок P–M–N–Q.

а) M и N — середины боковых сторон трапеции ABCD, поэтому MN — её средняя линия:
MN∥AD и MN=(AD+BC)2=9.
Через P в плоскости α проведём прямую, параллельную AD. Она лежит также в грани SAD, поэтому пересекает SD в точке Q. Следовательно, PQ∥AD. Итак, PMNQ — трапеция с основаниями MN и PQ.

б) Найдём положение P. В основании введём координаты
A(0,0), D(10,0), B(u,v), C(u+8,v).
Диагонали трапеции пересекаются в точке
O(5(u+8)9, 5v9).
Пусть APAS=t. Так как SO перпендикулярна AD, у S и O одинаковая координата вдоль AD. Плоскость α проходит через прямую MN (у неё вторая координата v2) и параллельна SO. Поэтому для точки P получаем
t·5v9=v2,
откуда t=910.

Следовательно,
APAS=DQDS=910,
а значит SPSA=SQSD=110. В треугольнике SAD:
PQ=(1−910)·AD=1.

Высота трапеции PMNQ лежит в α, параллельна SO и перпендикулярна её основаниям. Её длина равна
(910)·SO=365.

Следовательно,
Sсеч.=(MN+PQ)2 · 365=(9+1)2 · 365=36.

Ответ: 36.