Задание 3B468E: Планиметрия

а) Пусть R — радиус окружности, описанной около △ABC. Тогда AO=R. Для ортоцентра верна формула AH=−2Rcos∠A, когда угол A тупой. При ∠A=120° получаем
AH=−2Rcos120°=−2R·(−12)=R=AO.

б) По расширенной теореме синусов
AO=R=BC2sin120°=3√3=√3.
Так как H лежит вне треугольника, ∠BAH=90°+∠ABC=105°. Кроме того, ∠BAO=90°−∠BCA=45°. Поэтому
∠HAO=105°+45°=150°.
С учётом AH=AO=√3 имеем
S(AHO)=AH·AO·sin∠HAO2=√3·√3·sin150°2=3·122=34.

Ответ: 34.