Задание 0E8DDE по стереометрии

а) В равносторонних треугольниках ABD и ABC отрезки DM и CM — медианы, проведённые к стороне AB, следовательно, они перпендикулярны AB. Поэтому AB⊥(CMD), так как AB перпендикулярна двум пересекающимся прямым этой плоскости. Прямая MN лежит в плоскости CMD, значит, MN⊥AB.

Аналогично, рассматривая равносторонние треугольники ACD и BCD, получаем MN⊥CD.

б) Через K проведём прямую KT∥CD до пересечения с BD в точке T. Через T проведём TR∥AB до пересечения с AD в точке R. Через K проведём KS∥AB до пересечения с AC в точке S.

Поскольку MN перпендикулярна и AB, и CD, она перпендикулярна двум пересекающимся прямым KS и KT плоскости SKT. Поэтому плоскость SKT и есть искомая плоскость α. Четырёхугольник SRTK — параллелограмм; кроме того, AB⊥CD (ведь AB⊥плоскости CMD, содержащей CD). Значит, SRTK — прямоугольник.

BC=BK+KC=4, поэтому все рёбра тетраэдра равны 4. В треугольнике BCD имеем KT∥CD, откуда
KTCD=BKBC=14,
то есть KT=1.

В треугольнике ABC имеем SK∥AB, откуда
SKAB=CKCB=34,
то есть SK=3.

Следовательно, площадь сечения равна
S=SK·KT=3·1=3.

Ответ: 3.