Задание B45F0C по планиметрии

а) Обозначим AD=p, BC=q и расположим равнобедренную трапецию так:
A(−p2,0), D(p2,0), B(−q2,h), C(q2,h).
Диагонали имеют направляющие векторы
AC=(p+q2,h), BD=(p+q2,−h).
Их скалярное произведение равно нулю, поэтому
(p+q)²4−h²=0,
h=p+q2.

Поскольку N лежит на AD и ∠CND=90°, имеем N(q2,0). Отрезок AM перпендикулярен CD, поэтому прямая AM пересекает CN в точке
P(q2,p−q2).
Тогда
AB²=AP²=(p−q)²+(p+q)²4=p²+q²2,
CP=h−p−q2=q=BC.
Следовательно, AB+CP=BC+AP. Значит, в выпуклый четырёхугольник ABCP можно вписать окружность.

б) Здесь p=23, q=7. Поэтому
AB=AP=√23²+7²2,
S_ABCP=q(p+q)2.
Полупериметр описанного четырёхугольника равен
s=AB+BC=√23²+7²2+7.
Радиус вписанной окружности равен S_ABCPs=358.

Ответ: 358.